Determine β para que y=βx – 2 seja tangente ao gráfico de f(x) = x³-4x.
Solução:
A derivada da função fornece o coeficiente angular da reta tangente. Sabemos que $$f'(x) = 3x^{2}-4$$. Um ponto qualquer que satisfaz a equação da reta tangente é x0, então $$f'(x_{0}) = 3x^{2}_{0}-4 = \beta$$. O ponto y0 que pertence à reta tangente e à curva é $$y_{0} = x^{3}_{0}-4x_{0}$$.
Lembre-se de que $$y=y_{0}+m(x-x_{0})$$. A fim de que a reta fornecida seja igual à reta tangente, devemos ter
\[\beta x – 2 = y_{0} + \beta(x-x_{0}).\]
Daqui, temos
\[\beta x – 2 = x^{3}_{0}-4x_{0} + \beta x -\beta x_{0}\Longrightarrow\]
\[-2 = x^{3}_{0}-4x_{0} -(3x^{2}_{0}-4)x_{0}= \]
\[-2 = x^{3}_{0}-4x_{0}-3x^{3}_{0}+4x_{0}\Longrightarrow\]
\[-2 = -2x_{0}^{3}\Longrightarrow x_{0}=1.\]
Consideramos apenas raízes reais da equação $$x_{0}^{3}=1$$.
Como $$3x^{2}_{0}-4 = \beta$$, temos $$\beta = 3\cdot 1 – 4 = -1$$.
A equação da reta tangente é $$y=-x-2$$.
