Equação Exponencial – Exercício 8

(FATEC) Seja m o menor número real que é solução da equação

\[5^{x^{2}-2}:25=(\frac{1}{125})^{x}.\]

Então √m é um número:
a) par.
b) primo.
c) não-real.
d) irracional.
e) divisível por 3.

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Solução:

Aplicando propriedades da potência, o lado direito da equação pode adequadamente reescrito:

\[(\frac{1}{125})^{x} = (\frac{1}{5^{3}})^{x}=\]

\[(5^{-3})^{x}=5^{-3x}.\]

O lado esquerdo da equação também sofrerá modificações:

\[5^{x^{2}-2}:25 = 5^{x^{2}-2}:5^{2}\]

\[5^{x^{2}-2-2}=5^{x^{2}-4}.\]

Finalmente, temos a igualdade

\[5^{x^{2}-4}=5^{-3x}\]

se, e somente se, $$x^{2}-4=-3x$$. Isso produz a equação do segundo grau $$x^{2}+3x-4=0$$. Resolvendo por Bhaskara, temos

\[x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}.\]

A menor raiz desta equação é $$m = x = \frac{-3-5}{2}=-4$$. A raiz desse número é $$\sqrt{-4}=2i$$, um número complexo.

Resposta: c)