Equações Trigonométricas – Exercício 5

(Unifor – CE) O número de soluções da equação 2sen(x)cos(x)=4, no intervalo [0, 2π] é

a)0
b)1
c)2
d)3
e)4

Solução:
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Pode-se observar que $$4=2sen(x)cos(x)=sen(2x)$$. Como $$sen(\theta)\in\[-1,1\]$$, para qualquer arco, essa equação não possui solução.
Resposta: a)

Alternativamente, se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos 

\[4sen^{2}(x)cos^{2}(x)=16\Longrightarrow\]

\[(1-cos^{2}(x))cos^{2}(x)-4=0.\]

Fazendo a substituição $$u=cos^{2}(x)$$, a equação torna-se 

\[u-u^{2}-4=0.\]

Note que o delta dessa equação de segundo grau é $$\Delta = 1^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-4) = -15$$, de modo que não existe solução real para $$u$$. Daqui, concluímos que a resposta correta é a (a).