Equações Trigonométricas – Exercício 4

(UEL) Se x  ∈   [0,2π], o número de soluções da equação cos(2x)=sen[π/2 – x] é

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Solução:

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Observa-se que $$cos(2x)=2cos^{2}(x)-1$$ e que

\[sen[\frac{\pi}{2} – x] = sen(\pi/2)cos(x)-sen(x)cos(\pi/2)=\]

\[1\cdot cos(x) – sen(x)\cdot 0 = cos(x).\]

Substituindo ambas as identidades na expressão do enunciado, obtemos

\[2cos^{2}(x)-1=cos(x)\Longrightarrow\]

\[2cos^{2}(x)-cos(x)-1=0.\]

Adotando-se a mudança de variável $$u=cos(x)$$, a equação do segundo grau $$2u^{2}-u-1=0$$ tem as soluções $$u=\frac{1+\sqrt{9}}{4}=\frac{4}{4}=1$$ e $$u=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=-1/2$$.

Daqui, $$cos(x)\in\{1,-1/2\}$$. Seja $$x$$ qualquer solução no intervalo [0,2π],então $$x\in \{0,2\pi\}\cup\{3pi/2 , 5\pi/2\}$$.

Resposta: d)