(UEL) Se x ∈ [0,2π], o número de soluções da equação cos(2x)=sen[π/2 – x] é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução:
Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Trigonométricas
Observa-se que $$cos(2x)=2cos^{2}(x)-1$$ e que
\[sen[\frac{\pi}{2} – x] = sen(\pi/2)cos(x)-sen(x)cos(\pi/2)=\]
\[1\cdot cos(x) – sen(x)\cdot 0 = cos(x).\]
Substituindo ambas as identidades na expressão do enunciado, obtemos
\[2cos^{2}(x)-1=cos(x)\Longrightarrow\]
\[2cos^{2}(x)-cos(x)-1=0.\]
Adotando-se a mudança de variável $$u=cos(x)$$, a equação do segundo grau $$2u^{2}-u-1=0$$ tem as soluções $$u=\frac{1+\sqrt{9}}{4}=\frac{4}{4}=1$$ e $$u=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=-1/2$$.
Daqui, $$cos(x)\in\{1,-1/2\}$$. Seja $$x$$ qualquer solução no intervalo [0,2π],então $$x\in \{0,2\pi\}\cup\{3pi/2 , 5\pi/2\}$$.
Resposta: d)
