Equações Trigonométricas – Exercício 7

Resolva a equação $$(cos(x)+sen(x){)}^2=\frac{1}{2}$$.

Solução:

No lado esquerdo da equação, aplicamos o trinômio quadrado perfeito, de modo que a equação torna-se

$$co{s}^2(x)+se{n}^2(x)+2cos(x)sen(x)=1/2,$$

assim, temos $$1+2cos(x)sen(x)=1/2$$, o que resulta em

$$2cos(x)sen(x)=-\frac{1}{2}.$$

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Note que $$2cos(x)sen(x)=sen(2x)$$, expressão fornecida pela soma de arcos. Então a equação é simplesmente $$sen(2x)=-\frac{1}{2}$$.

Se considerarmos o arco $$u=2x$$, duas soluções na primeira volta do círculo trigonométrico são 5π/6 e 7π/6. Qualquer outra solução $$u$$ é dada a partir dessas duas. Então o conjunto de soluções é $$\{7\pi /6+2k\pi \}\cup \{11\pi /6+2k\pi \}$$, para qualquer inteiro $$k$$. Como $$u=2x$$, temos $$x\in \{7\pi /12+k\pi \}\cup \{11\pi /12+k\pi \}$$, para qualquer inteiro $$k$$.