Espaços Vetoriais – Exercícios resolvidos

Exercícios resolvidos sobre os axiomas de um Espaço Vetorial.

♦ Em $$E=\mathbb{R}^{2}$$, mantenhamos a definição do produto $$\alpha v$$ de um número por um vetor, mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma $$u+v$$, dos vetores $$u=(x,y)$$ e $$v=(x’,y’)$$. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos, e quais são violados.
a) $$u+v=(x+y’,x’+y’)$$;
b) $$u+v=(xx’,yy’)$$;
c) $$u+v=(3x+3x’,5y+5y’)$$.
Solução.

♦ Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais e considere o corpo dos números reais. Definamos as operações:

• Soma: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (3y₁ + 3y₂ ;- x₁-x₂).
• Produto: c (x,y) = (3cy , -cx).

Esse conjunto forma um Espaço Vetorial?
Solução.

♦ Demonstre as afirmações abaixo:

• $$0\cdot v = 0_{V}$$; (Solução)
• $$(-1)\cdot v = (-v)$$. (Solução).

♦ Em um espaço vetorial, $$\alpha v = \beta v$$ implica que α=β? E se $$v\neq 0_{V}$$ (zero vetorial)?
Solução.

♦ Sejam v,w e u elementos de um espaço vetorial $$V$$ . Prove que é válida a lei do cancelamento: Se $$v+w =v+u$$, então $$w=u$$.
Solução.

♦ Demonstre que, para $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\cdot v = \sum^{n}_{i=1}v$$.
Solução.