O número de soluções da equação 2sen²(x)-3sen(x)+1=0, no intervalo [0,3π], é igual a:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Solução:
Basta fazermos a substituição $$u=sen(x)$$, a fim de obtermos a equação 2u² – 3u + 1 = 0.
Agora, resolvemos, por Bhaskara, a equação associada:
\[u=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\]
\[\frac{3\pm 1}{4}.\]
As soluções são $$u=1$$ ou $$u=1/2$$.
Sabemos, pelo ciclo trigonométrico, que $$sen(x) = u = 1$$ quando $$x=\pi + 2k\pi$$, para um inteiro não negativo $$k$$. Em particular, no intervalo considerado, temos as seguintes soluções: x ∈ {π,3π}.
No caso de $$sen(x)=u=1/2$$, as soluções serão $$x=\frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ ou $$x=\frac{5 pi}{6} + 2k\pi$$, para um inteiro não negativo $$k$$. Então, no intervalo em questão, as soluções estão no conjunto {π/6 , 5π/6, 13π/6, 17π/6}.
Há, portanto, 6 soluções.
