No artigo anterior, discutimos a demonstração da fórmula que nos permite calcular as prestações de um financiamento da Tabela Price (Sistema de Amortização Francês). Agora, queremos calcular a dívida ao final do k-ésimo mês, após o pagamento das k prestações. Sua fórmula será dada por
\[VP_{k}=P\cdot\frac{(1+i)^{n-k}-1}{i(1+i)^{n-k}},\]
em que $$P$$ é o valor das prestações do financiamento, $$i$$ é a taxa de juros e $$n$$ é o número de meses (ou ciclos) do financiamento.
Compreendendo a Fórmula
No mês de índice k, ainda faltarão n-k prestações a serem pagas, então a dívida é o Valor Presente das n-k prestações levado ao mês k, isto é:
\[\frac{P}{(1+i)}+\frac{P}{(1+i)^{2}}+…+\frac{P}{(1+i)^{n-k}}.\]
Observamos que essa soma corresponde à soma dos n-k primeiros termos de uma progressão geométrica, cujo termo inicial é $$a_{1}=\frac{P}{1+i}$$ e a razão é $$q=(1+i)^{-1}=\frac{1}{1+i}$$. Aplicando a fórmula da soma da PG, temos
\[S_{n-k}=\frac{P}{1+i}\cdot\frac{(1+i)^{-(n-k)}-1}{\frac{1}{1+i}-1}.\]
Multipliquemos a numerador e o denominador por $$(1+i)^{n-k}$$, teremos
\[\frac{P}{1+i}\cdot\frac{1 – (1+i)^{n-k}}{-\frac{i}{1+i}\cdot (1+i)^{n-k}}=\]
\[P\cdot\frac{(1+i)^{n-k}-1}{i(1+i)^{n-k}}.\]
