FUVEST 2009 – Q.74 (1ª Fase)

Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA . Sabendo-se também que o perímetro
de ABC vale 15 e que o ângulo (A) mede 120º, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a

a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125

Solução:
Os lados do triângulo, que estão em Progressão Aritmética, serão indicados por $$x-r,x,x+r$$, em que $$r$$ é a razão. Dado que o perímetro é 15, teremos $$x-r+x+x+r=15$$, então $$3x=15$$, logo $$x=5$$.

O triângulo tem medidas 5-r , 5 e 5+r.

Observe que, impondo r>0,  5+r é a medida do maior  lado, o lado oposto ao ângulo de 120º (o maior ângulo). Aplicando a Lei dos Cossenos e sabendo que $$cos(120º)=-1/2$$,  teremos

$$(5+r{)}^2=(5-r{)}^2+5^2-2\cdot (5-r)\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})⟹$$

$$25+10r+r^2=25-10r+r^2+25+25-5r⟹$$

$$25r=50⟹r=2.$$

Os lados serão 3, 5 e 7, e seu produto é $$3\cdot 5\cdot 7=105$$.