FUVEST 2009 – Q.75 (1ª Fase)

O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 2log₂(1+x√2) – log₂(x√2) = 3.
Então, 2log₂((2a+4)/3) a é igual a

a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2

Solução:

1) • Aplicando a propriedade do expoente, temos a igualdade $$2\cdot log_{2}(1+x\sqrt{2}) = log_{2}[(1+x\sqrt{2})^{2}]$$. Nossa equação se torna

\[log_{2}[(1+x\sqrt{2})^{2}] – log_{2}(x\sqrt{2})=3.\]

• Aplicando a propriedade da diferença dos logaritmos (= logaritmo da divisão), teremos

\[log_{2}[\frac{(1+x\sqrt{2})^{2}}{x\sqrt{2}}]=3.\]

• Aplicando a definição de logaritmo, encontramos a igualdade

\[\frac{(1+x\sqrt{2})^{2}}{x\sqrt{2}}=2^{3}=8.\]

Rearranjando a equação, obtemos $$1 + 2x^{2}-6x\sqrt{2}=0$$. Por Bháskara, obtemos as raízes

\[x= \frac{3\sqrt{2}\pm 4}{2}.\]

A menor delas é a=(3√2 – 4)/2.

2) Agora, substituímos o valor encontrado na última expressão, de modo a termos

\[log_{2}((3\sqrt{2})/3)=log_{2}(2^{1/2})=1/2.\]