Integral de x.sen(x²)

$$\int x\cdot sen(x^2)dx$$.

A primeira coisa é identificar a função $$g(x)$$ da teoria, ou seja, uma função de composição da função $$f$$, que estamos integrando. Veja que $$f(x)=x\cdot sen(x^2)$$, então é natural pensar na seguinte composição:

$$f(x)=x\cdot sen(g(x))$$, com $$g(x)=x^2$$.

Lembrando-nos de que precisamos chamar $$g(x)=u$$, a nossa nova variável, E precisamos calcular a relação entre $$du$$ e $$dx$$. Para isso, calculamos a derivada de $$u=g(x)$$.

$$du=g^{\prime }(x)dx=(x^2{)}^{\prime }dx=(2x)dx⟶du=(2x)dx$$

Agora, realizamos um pequeno “truque”, que é correto, do ponto de vista matemático, mas a notação parece ser um pouco ingrata. Queremos isolar o $$dx$$, para substituí-lo por algo com o $$du$$. Então passamos o (2x) “dividindo” o $$du$$ e deixamos o $$dx$$ isolado.

$$du=(2x)dx⟹\frac{du}{2x}=dx$$.

Esta igualdade é corretíssima, porém a ideia de “passar dividindo” é apenas uma analogia com frações. Na verdade, estamos aplicando o Teorema da Função Inversa para derivadas de funções reais. A função $$u=g(x)$$ é inversa da função $$x(u)$$.

E, pela fórmula (ou teorema) que vimos acima, podemos aplicar a seguinte igualdade

$$\int x\cdot sen(x^2)dx=\int x\cdot sen(u)\cdot dx=$$

$$\int x\cdot sen(u)\frac{du}{2x}=\int \frac{sen(u)}{2}du=$$

$$(1/2)\int sen(u)du=-(1/2)cos(u)+K=K–(1/2)cos(x^2)$$.

Viram? Saímos de uma integral aparentemente complicada, para resolvermos uma integral bastante simples, do $$cos(u)$$.

Mais exercícios resolvidos de integral por substituição