$$\int x\cdot sen(x^{2})dx$$.
A primeira coisa é identificar a função $$g(x)$$ da teoria, ou seja, uma função de composição da função $$f$$, que estamos integrando. Veja que $$f(x)=x\cdot sen(x^{2})$$, então é natural pensar na seguinte composição:
\[f(x)=x\cdot sen(g(x))\], com $$g(x)=x^{2}$$.
Lembrando-nos de que precisamos chamar $$g(x)=u$$, a nossa nova variável, E precisamos calcular a relação entre $$du$$ e $$dx$$. Para isso, calculamos a derivada de $$u=g(x)$$.
\[du=g'(x)dx = (x^{2})’ dx =(2x) dx\longrightarrow du=(2x)dx\]
Agora, realizamos um pequeno “truque”, que é correto, do ponto de vista matemático, mas a notação parece ser um pouco ingrata. Queremos isolar o $$dx$$, para substituí-lo por algo com o $$du$$. Então passamos o (2x) “dividindo” o $$du$$ e deixamos o $$dx$$ isolado.
\[du=(2x)dx \Longrightarrow \frac{du}{2x}=dx\].
Esta igualdade é corretíssima, porém a ideia de “passar dividindo” é apenas uma analogia com frações. Na verdade, estamos aplicando o Teorema da Função Inversa para derivadas de funções reais. A função $$u=g(x)$$ é inversa da função $$x(u)$$.
E, pela fórmula (ou teorema) que vimos acima, podemos aplicar a seguinte igualdade
\[\int x\cdot sen(x^{2})dx = \int x\cdot sen(u)\cdot dx =\]
\[\int x\cdot sen(u) \frac{du}{2x}=\int \frac{sen(u)}{2}du=\]
\[(1/2)\int sen(u) du =-(1/2) cos(u) + K = K – (1/2)cos(x^{2})\].
Viram? Saímos de uma integral aparentemente complicada, para resolvermos uma integral bastante simples, do $$cos(u)$$.
Olá! Porque a resposta não seria – cos (u)/2 + k?
Como a função estava em x, precisávamos finalizar com a substituição u = x².