Limites – Exercício 17

Calcule o limite, se existir, e justifique.

$$\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$$ , $$p\neq 0$$.

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Solução:

Basta observar que

\[\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}\].

Como o limite das respectivas frações existe (ver exercício anterior) e é diferente de zero, quando $$x\to p$$, podemos escrever assim:

\[\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\]

\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\lim_{x\to p}\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}=\]

\[1\cdot\frac{1}{\lim_{x\to p}(x+p)cos(x-p)}=1\cdot 1/2p = 1/2p .\]