Lógica Matemática – Conjuntos – Famílias (exercício 1)

Seja $(A_{n})_{n \in N}$ uma família de conjuntos e $A = \cup_{n \in N} A_{n}$ . Prove que existe uma família $(B_{n})_{n \in N}$ , com $B_{n} \subset B_{n + 1}$ e $A = \cup_{n \in N} B_{n}$ .

Solução:

Podemos definir a família com os elementos $B_{i} = \cup_{n = 1}^{i} A_{n}$ . Daqui, concluímos a seguinte igualdade:

$B_{i} = A_{1} \cup \dots \cup A_{i} \subseteq A_{1} \cup \dots \cup A_{i} \cup A_{i + 1} = B_{i + 1}$ .

(i) Provaremos que $A \subseteq \cup_{n \in N} B_{n}$ .

Com efeito, dado qualquer $x \in A$ , existe $A_{s}$ , com $s \in R$ , tal que $x \in A_{r}$ . A razão pela qual este fato é verdadeiro vem de $A = \cup_{n \in N} A_{n}$ ; deve haver, no mínimo, algum conjunto desta união que contém $x$ .

Ademais, é fato que $A_{r} \subseteq \cup_{n = 1}^{r} A_{n} = B_{r}$ . Então é certo que $x \in \cup_{n \in N} B_{n}$ . Logo, provamos que, se $x \in A$ , é fato que $x \in \cup_{n \in N} B_{n}$ .

(ii) Provaremos que $A \supseteq \cup_{n \in N} B_{n}$ .

De fato, dado $x \in \cup_{n \in N} B_{n}$ , existe $s \in N$ tal que $x \in B_{s} \subset \cup_{n \in N} B_{n}$ .

De $B_{s} = \cup_{n = 1}^{s} A_{n}$ , existe algum $r \in {1, 2, \dots, s}$ tal que $x \in A_{r}$ . Além disso, é certo que $A_{r} \subset \cup_{n \in N} A_{n}$ . Logo, mostramos que, se $x \in \cup_{n \in N} B_{n}$ , é fato que $x \in \cup_{n \in N} A_{n} = A$ .

Referência:

Curso de Análise Real – Neri e Cabral

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