[Matemática Financeira] – Taxas Relacionadas e Equivalentes

Prosseguindo com o nosso curso de Matemática Financeira, hoje aprendemos as noções de taxas.

Taxa Nominal ou Aparente: É a taxa que possui um marcador temporal diferente da periodicidade de capitalização. Por exemplo, se os juros são de 12% ao ano, mas a capitalização é mensal. Há muitos outros exemplos.

Taxa Efetiva: É a taxa cujo marcador temporal corresponde à periodicidade da capitalização. Para calculá-la, basta fazer: $$i_{efetiva}=\frac{i_{nominal}}{k}$$, sendo $$k$$ a taxa a conversão temporal entre a taxa nominal e a taxa efetiva. Por exemplo, nos 12% a.a, a taxa efetiva mensal é $$\frac{12\%}{12}=1\%$$ ao mês.

Taxa Acumulada:  Quando ocorrer uma sucessão de acréscimos (ou descontos), às vezes, é necessário calcular a taxa de juros de todo o período. Seja $$i$$ a taxa acumulada, seja $$V_{0}$$ o capital aplicado inicialmente, e seja $$V$$ o capital final. Após $$n$$ períodos, cada qual com sua respectiva taxa indexada por $$i_{n}$$, como são relacionadas as taxas?

\[V=V_{0}(1+i)\]

\[V=V_{0}\cdot (1+i_{n})\cdot (1+i_{n-1})\cdot (1+i_{n-2})\cdot …\cdot (1+i_{1})\]

Então

\[i=(1+i_{n})\cdot (1+i_{n-1})\cdot (1+i_{n-2})\cdot …\cdot (1+i_{1})-1\].

Obs: para descontos sucessivos, basta alterar o sinal para $$-$$.
Quando as taxas acumuladas são iguais, temos os juros compostos:

\[i=(1+i_{1})^{n}1 \Longleftrightarrow i_{1}=(1+i)^{\frac{1}{n}}\].

Taxa Equivalente: Por Juros Compostos, as taxas equivalentes são definidas como taxas que produzem o mesmo montante, quando aplicado sob um mesmo período.

\[V=V_{0}\cdot (1+i)_{A})^{t_{A}}=V_{0}(1+i_{B})^{t_{B}}\Longleftrightarrow i_{A}=(1+i_{B})^{\frac{t_{B}}{t_{A}}}\]

Quando $$t_{A}=1$$, então a taxa $$i_{A}$$ é a Taxa Acumulada de $$i_{B}$$, depois de um período $$t_{B}$$.

Exercícios

1. Calcular a taxa de Juros equivalente a 10% ao ano, nos períodos a seguir:

a) a.m (ao mês)          b) a.s (ao semestre)          c) a.d (ao dia)          d) a.b (ao biênio)

e) a.q (ao quadriênio)

Observação: Recomenda-se que o aluno assista ao vídeo desde o começo, para compreender o padrão RPN de inserção de valores da calculadora HP-12c. Para ver o vídeo desde o início, CLIQUE AQUI.

Solução (na calculadora HP):

Solução (em texto escrito):

Utilizaremos um dos formatos da fórmula de conversão entre taxas equivalentes. Atenção! As aproximações serão feitas com 4 casas decimais e arredondamento na última casa.

a)  Para transformar $$i_{A}=10\%$$ ao ano em taxa mensal equivalente, devemos notar que$$t_{A}=1$$ e $$t_{B}=12$$ meses.

\[i_{B}=(1+i_{A})^{\frac{t_{A}}{t_{B}}}-1=(1+10\%)^{\frac{1}{12}}-1=0,7974\%\; (a.m)\]

Se quiser verificar sua resposta, faça a conta inversa!

\[i_{A}=(1+0,7974\%)^{\frac{12}{1}}-1=10\%\].

b) Para semestres, devemos observar que $$t_{A}=1$$ ano, e $$t_{B}=2$$ semestres.

\[i_{B}=(1+i_{A})^{\frac{t_{A}}{t_{B}}}-1=(1+10\%)^{\frac{1}{2}}-1=4,8809\%\; (a.s)\]

c) Para dias, devemos observar que $$t_{A}=1$$ ano, e $$t_{B}=365$$ dias.

\[i_{B}=(1+i_{A})^{\frac{t_{A}}{t_{B}}}-1=(1+10\%)^{\frac{1}{365}}-1=0,8809\%\; (a.d)\]

Obs: há dois padrões para conversão em taxas diárias. O primeiro diz que todos os meses possuem 30 dias, e todos os anos possuem 365 dias, independente do mês ou do ano bissexto. O outro padrão equivale a capitalização em dias úteis, como no caso da SELIC. Assim, considera-se que um ano possui 252 dias úteis.

A partir de agora, as unidades de tempo serão maiores que um ano, por isso, a fração que ocorre no expoente, será maior que 1.

d) Um biênio equivale a 2 anos, portanto $$t_{A}=2$$ anos, e $$t_{B}=1$$ biênio.

\[i_{B}=(1+i_{A})^{\frac{t_{A}}{t_{B}}}-1=(1+10\%)^{\frac{2}{1}}-1=21\%\; (a.b)\]

e) Um Quadriênio equivale a 4 anos, portanto $$t_{A}=4$$ anos, e $$t_{B}=1$$ quadriênio.

\[i_{B}=(1+i_{A})^{\frac{t_{A}}{t_{B}}}-1=(1+10\%)^{\frac{4}{1}}-1=46,41\%\; (a.q)\]

2. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 16.000,00 à taxa de juros compostos de 24% a.a, capitalizados trimestralmente durante 24 meses.

Solução (na calculadora HP):

Solução (em texto escrito): 

1) Primeiro, calculamos a taxa trimestral. Não se trata de taxa nominal, os 24% representam a capitalização anual do investimento, em juros compostos. Usando que um ano tem 4 trimestres, calculamos, a seguir, $$i_{B}$$, sabendo que $$t_{A}=1$$, $$t_{B}=4$$.

\[i_{B}=(1+24\%)^{\frac{1}{4}}-1=5,5250\%\]

2) Agora, utilizamos a fórmula de Juros Compostos para calcularmos a capitalização. Em 24 meses, há $$24/3=8$$ trimestres.

\[M=16000\cdot (1+5,5250\%)^{8}=R\$ 24.601,60\]

Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz juros totais iguais a 60% do capital ao final de 5 anos?

Solução:

Seja o capital denotado por $$x$$. O montante final será de $$x+0,6x=1,6x$$. Em 5 anos, há um total de $$5\cdot 4 =20$$ semestres. Então, pela fórmula de juros compostos, temos:

\[1,6x=M=x\cdot (1+i)^{20}\Longrightarrow i=1,6^{1/20}-1=2,3778\%\].

Mas esta é a taxa efetiva trimestral. Para calcular a taxa nominal de um ano, basta multiplicarmos a taxa pelo número de trimestres, ou seja, $$4\cdot 2,3778=9,5114\%$$ a.a.