Álgebra Linear
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Núcleo e Imagem – Exercício 3

Seja $$T$$ um operador linear sobre o espaço de dimensão finita $$V$$. Se $$posto(T^{2})=posto(T)$$, então a imagem e o núcleo de $$T$$ são disjuntos.

Demonstração:

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,

\[dim(V)=dim(N(T)) + posto(T) \text{e}\]

\[dim(V)=dimN(T^{2})+posto(T^{2}).\]

Por hipótese, como ambos os postos são idênticos, teremos $$dim(N(T))=dim(N(T^{2}))$$. Note que, se $$Tu=0$$, tem-se $$T^{2}u=T(Tu)=0$$. Logo, observamos que $$N(T)\subseteq N(T^{2})$$, ou seja: aquele é subespaço deste. Assim, como suas dimensões são idênticas, só se pode ter $$N(T)=N(T^{2})$$.

Suponha, por absurdo, que exista $$u\neq 0$$ tal que $$Tu\in N(T)$$. Daqui, $$T(Tu)=0$$. Há duas opções: ou $$Tu=0$$ ou $$Tu\neq 0$$. No segundo caso, teríamos $$u\notin N(T)$$. Entretanto, dado que $$T(Tu)=0$$ e que $$N(T)=N(T^{2})$$,  $$u\in N(T^{2})$$, então $$u\in N(T)$$, o que configura-se em um absurdo.

A única opção, portanto, é que $$Tu=0$$, donde se tem que $$N(T)\cap Im(T)=\{0\}$$.

Tags: teorema do núcleo e da imagem

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