Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno. Dado $$v\in V$$, suponha que, para todo $$s\in S$$, em que $$S$$ é um subespaço de V,
\[\langle v,s \rangle+ \langle s,v \rangle \leq \langle s,s \rangle.\]
Prove que $$v\in S^{\bot}$$.
Solução:
Como a desigualdade é válida para qualquer vetor em $$S$$, tomemos, em particular, o vetor $$\alpha\cdot s$$, com $$\alpha \in\mathbb{R}$$ e positivo, de modo que se tenha
\[\langle v,\alpha\cdot s \rangle +\langle \alpha\cdot s,v \rangle \leq \langle\alpha\cdot s, \alpha\cdot s\rangle.\]
Daqui,
\[\alpha(\langle v,s\rangle+\bar{\langle v,s \rangle})\leq \alpha\cdot\bar{\alpha}\langle s, s\rangle.\]
Multiplicando os dois lados da desigualdade por 1/α, temos
\[\langle v,s\rangle +\bar{\langle v,s \rangle}\leq \bar{\alpha}\langle s,s \rangle.\]
Observe que $$\alpha = \bar{\alpha}$$, dado ser um número real. No lado esquerdo da desigualdade, temos a soma de um número complexo com o seu conjugado, que resulta em um número real, portanto a desigualdade tem sentido.
Se fixarmos um valor para a soma, digamos $$r$$, podemos estudar duas possibilidades:
- Se r>0, a desigualdade não valerá para algum $$ α < \frac{r}{\langle s, s\rangle}$$.
- Se r<0, a desigualdade não valerá para algum α<0 que obedeça à mesma desigualdade acima.
Por conseguinte, só podemos ter r=0.
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