Produto Interno – Exercício 7

Seja V o espaço vetorial das matrizes $$n\times n$$ sobre os complexos, com produto interno $$⟨A,B⟩=tr(A{B}^{\ast })$$. Determinar o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais ($$Diag$$).

Solução:

As matrizes diagonais são geradas pelo conjunto linearmente independente $$\{D_1,\dots ,D_n\}$$ de matrizes, cujas entradas todas são nulas, exceto para $$d_{ii}=1$$.

Para qualquer matriz $$M$$, o elemento $$c_{kk}$$, da diagonal de $$D_i{M}^{\ast }$$, é dado por $$c_{kk}=\sum _{r=1}^n{d}_{kr}{\overline{m}}_{kr}$$. Como $$d_{kr}=0$$, exceto no caso em que $$k=i=r$$, então teremos $$c_{kk}=0$$, com $$k\ne i$$, e $$c_{ii}=\overline{m_{ii}}$$.

Desse modo, $$tr(D_i{M}^{\ast })=0+\dots +0+\overline{m_{ii}}+0\dots +0={\overline{m}}_{ii}$$.

A fim de que $$M$$ seja ortogonal a todo elemento do espaço das matrizes diagonais, basta que seja ortogonal a todos os elementos da base do espaço. Dito de outra forma:

$$0=⟨D_i,M⟩=tr(D_i{M}^{\ast })={\overline{m}}_{ii},\text{para todo }i\in \{1,\dots ,n\}.$$

Isso implica que os elementos do complemento ortogonal de $$Diag$$ são matrizes cujas diagonais principais são formadas por zeros.