Produto Interno – Exercício 7

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Seja V o espaço vetorial das matrizes n×n sobre os complexos, com produto interno A,B=tr(AB). Determinar o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais (Diag).

Solução:

As matrizes diagonais são geradas pelo conjunto linearmente independente {D1,,Dn} de matrizes, cujas entradas todas são nulas, exceto para dii=1.

Para qualquer matriz M, o elemento ckk, da diagonal de DiM, é dado por ckk=r=1ndkrm¯kr. Como dkr=0, exceto no caso em que k=i=r, então teremos ckk=0, com ki, e cii=mii¯.

Desse modo, tr(DiM)=0++0+mii¯+0+0=m¯ii.

A fim de que M seja ortogonal a todo elemento do espaço das matrizes diagonais, basta que seja ortogonal a todos os elementos da base do espaço. Dito de outra forma:

0=Di,M=tr(DiM)=m¯ii,para todo i{1,,n}.

Isso implica que os elementos do complemento ortogonal de Diag são matrizes cujas diagonais principais são formadas por zeros.


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