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Progressão Aritmética – Exercício 16

(UEL) Qual é o menor número de termos que deve ter a progressão aritmética de razão r = 8 e primeiro termo a1 = – 375, para que a soma dos n primeiros termos seja positiva?

a) 94
b) 95
c) 48
d) 758
e) 750



Solução:

Em primeiro lugar, vamos encontrar o termo geral dessa PA: $$a_{n}=-375 + 8(n-1) = 8n – 383$$. Precisamos de que $$S_{n}> 0$$. A soma dos “n” primeiros termos é dada por

\[S_{n}=\frac{n(-375 + 8n – 383)}{2}=\frac{8n^{2} – 758n}{2} = 4n^{2}-379n.\]

Procuramos, portanto, o menor $$n$$ natural que satisfaz a inequação 4n² – 379n>0. Observamos que a equação do segundo grau associada tem raízes $$n=0$$ e $$n=94,75$$.

A função $$S_{n}=4n^{2}-379$$ é crescente para n>94,75. O inteiro imediatamente superior a esse número é n=95.

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