Progressão Geométrica – Exercício 14

(Mackenzie) Sejam l₁, l₂, …, l₁₀₀ os lados dos quadrados Q₁, Q₂, …, Q₁₀₀, respectivamente.
Se l₁ = 1 e l_k = 2l_k-1 , para k = 2, 3, …, 100, a soma das áreas desses quadrados é igual a:

a) $$(3/4)4^{99}$$
b) $$(1/4) 4^{99}$$.
c) $$(1/3) (4^{100}-1)$$.
d) $$(1/3) (4^{100})$$.
e) $$(1/3)4^{100} – 1$$.

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Solução:

Observamos que as medidas dos lados dos quadrados formam uma progressão geométrica de razão (q=2), pois $$l_{1}=1, l_{2}=2, l_{3}=4,…$$

Além disso, sabemos que a área de um quadrado é o quadrado de seu lado, ou seja,$$A_{k}=l^{2}_{k}$$. Isso mostra que as áreas formam um progressão geométrica, (1,4,16,…), de razão q=4 e primeiro termo $$a_{1}=1$$.

Utilizando a fórmula da soma de uma progressão geométrica, temos

\[S_{100}=1\cdot\frac{4^{100}-1}{4-1}=\frac{1}{3}(4^{100}-1).\]