Progressão Geométrica – Exercício 20

(UECE) Seja (b₁,b₂,b₃,b₄) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b₁+b₂+b₃+b₄=20, então b₄ é igual a

a) 1/2
b) 3/2
c) 5/2
d) 7/2

• Lista de exercícios resolvidos sobre Progressão Geométrica

Solução:

Sabemos que o termo geral da progressão geométrica é $$b_{n}=b_{1}\cdot (1/3)^{n-1}= b_{1}\cdot 3^{1-n}$$. Escrevemos todos os termos em função do termo geral, então obtemos $$b_{2}=b_{1}3^{-1}, b_{3}=b_{1}3^{-2}$$ e $$b_{4}=b_{1}3^{-3}$$. Com isso, podemos reescrever a soma do enunciado deste modo:

\[b_{1}(1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3})=20.\]

Temos que $$1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}=\frac{1+3+9+27}{27}=\frac{40}{27}$$, donde se tem que $$b_{1}=20\cdot\frac{27}{40}=\frac{27}{2}$$.

Retornando ao termo geral, calculamos

\[b_{4}=b_{1}\cdot 3^{-3}=\frac{27}{2}\cdot\frac{1}{27}=\frac{1}{2}.\]