(UECE) Seja (b1,b2,b3,b4) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b1+b2+b3+b4=20, então b4 é igual a
a) 1/2
b) 3/2
c) 5/2
d) 7/2
Solução:
Sabemos que o termo geral da progressão geométrica é $$b_{n}=b_{1}\cdot (1/3)^{n-1}= b_{1}\cdot 3^{1-n}$$. Escrevemos todos os termos em função do termo geral, então obtemos $$b_{2}=b_{1}3^{-1}, b_{3}=b_{1}3^{-2}$$ e $$b_{4}=b_{1}3^{-3}$$. Com isso, podemos reescrever a soma do enunciado deste modo:
\[b_{1}(1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3})=20.\]
Temos que $$1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}=\frac{1+3+9+27}{27}=\frac{40}{27}$$, donde se tem que $$b_{1}=20\cdot\frac{27}{40}=\frac{27}{2}$$.
Retornando ao termo geral, calculamos
\[b_{4}=b_{1}\cdot 3^{-3}=\frac{27}{2}\cdot\frac{1}{27}=\frac{1}{2}.\]
