Questão
Considere a sequência de números reais $$(?_{1}, ?_{2}, ?_{3}, ?_{4}, ?_{5})$$ tal que $$(?_{1}, ?_{2}, ?_{3})$$ é uma progressão geométrica e $$(?_{4}, ?_{5})$$ é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão ?.
a) Determine a sequência no caso em que $$?_{3} = 3$$ e ? = 2.
b) Determine todas as sequências tais que $$?_{1} = 1$$ e $$?_{5} = 8$$.
Solução: Para resolver os problemas, basta aplicar as definições de progressão aritmética e geométrica. Na aritmética, somamos a razão ao termo anterior para obtermos o termo seguinte. Na geométrica, multiplicamos a razão pelo termo anterior para obtermos o próximo.
a) Começando pela progressão aritmética, temos: $$a_{4}=3+2=5$$ e $$a_{5}=5+2=7$$.
Na progressão geométrica, teremos: $$a_{2}=a_{3}/2 = 3/2$$ e $$a_{1}=a_{2}/2 = 3/4$$. Eis a sequência: (3/4, 3/2, 3, 5, 7)
b) Colocaremos a sequência em função da razão $$w$$; (1,? ,?²,w²+w,w²+2w), onde w²+2w=8. Resolvendo a equação, $$w^{2}+2w-8=0$$, por Bhaskara, teremos $$w=\frac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-8)}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$. As duas possíveis soluções são: $$w=2$$ ou $$w=-4$$.
As duas sequências são: (1,2,4,6,8) ou (1,-4,16,12,8).
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