Num determinado ano civil um empresário efetua quatro depósitos mensais, iguais e sucessivos, num banco que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma taxa de 1,2% ao mês. No final de dezembro desse exercício o total acumulado por esse empresário, por esses depósitos, é de R$ 100.000,00. Assuma os meses com 30
dias e calcule o valor desses depósitos mensais nas seguintes hipóteses:
a) o primeiro depósito ocorre no final do mês de janeiro;
b) o primeiro depósito ocorre no final do mês de abril.
Solução:
a) Observe que houve 4 meses com depósitos e 8 meses com somente remuneração por juros, precisamos, então, calcular o valor presente no instante imediatamente posterior ao último depósito. Usando a fórmula de Juros Compostos, teremos:
\[100000=VP\cdot (1+1,2\%)^{8}\Longrightarrow\]
\[VP=\frac{100000}{(1+1,2\%)^{8}}=R\$ 90.898,33.\]
O valor que acabamos de encontrar é o valor futuro da série uniforme de pagamentos postecipados. Usando a fórmula que relaciona Valor Futuro e Prestações, teremos
\[90898,33 = PGTO\cdot\frac{[(1+1,2\%)^{4}-1]}{1,2\%}\Longrightarrow\]
\[90898,33 = PGTO\cdot 4,07\Longrightarrow\]
\[PGTO = \frac{90898,33}{4,07}=R$ 22.319,61.\]
b) Se o primeiro depósito ocorreu no fim de abril, o último depósito foi feito ao final de Julho, de modo que sobraram 5 meses com remuneração sem depósitos. Calculamos, antes de tudo, o valor presente da aplicação no instante imediatamente posterior ao último depósito. Pela fórmula dos Juros Compostos, temos
\[100000=VF=VP\cdot(1+1,2\%)^{5}\Longrightarrow\]
\[VP = \frac{100000}{(1+1,2\%)^{5}}=R$ 94.210,09.\]
Por meio da fórmula das séries uniformes, temos
\[R$ 94.210,09 = PGTO\cdot\frac{[(1+1,2\%)^{4}-1]}{1,2\%}\Longrightarrow\]
\[R$ 94.210,09 = PGTO\cdot 4,07\Longrightarrow\]
\[PGTO = \frac{R$ 94.210,09}{4,07}=R$ 23.132,79.\]
