Subgrupos Normais – Exercício 2
Suponha que $$H<G$$, com [G:H] = 2 (índice de H). Prove que $$H\unlhd G$$ (subgrupo normal de G). Solução: 1) Observamos que as únicas classes...
Grupos
Group Representation – Exercise 1
Suppose that ρ is a representation of G of degree 1. Prove that G\Ker(ρ) is abelian. Solution: For $$g,h\in G$$, $$\rho(ghg^{-1}h^{-1})=\rho(g)\rho(h)\phi(g^{-1})\rho(h^{-1}) (*)$$. Since ρ is of...
Subgrupos Normais – Exercício 1
Sejam $$N$$ e $$M$$ subgrupos normais de $$G$$. Se $$N\cap M =\{1_{G}\}$$, então $$mn=nm$$, para quaisquer $$n\in N$$ e $$m\in M$$. Solução: Como $$N$$ é...
Homomorfismo de Grupos – Exercício 3
Seja $$G$$ um grupo finito. Definindo $$i_{g}(x) = gxg^{-1}$$, prove que a relação é um automorfismo injetor e sobrejetor de $$G$$ em $$G$$. Solução: 1)...
Álgebra de Grupos: Ação de Grupos (exercício 2)
Sobre um grupo $$G$$, com subgrupo $$H$$, define-se o conjunto $$X={xH,x\in G}$$, das classes laterais à esquerda de $$H$$. a) Prove que o estabilizador $$G_{aH}$$...
Álgebra de Grupos – Permutações (exercício 1)
Dado um ciclo $$\sigma = (j_{1}….j_{t})\in S_{n}$$, prove que $$\sigma=\Pi_{i=0}^{t-2}(j_{1} j_{t-i})$$. Demonstração: Para $$t=3$$: pode-se escrever $$(j_{1} j_{2} j_{3})=(j_{1} j_{3})(j_{1} j_{2})$$. De fato, o produto...
Álgebra de Grupos: Ação de Grupos (exercício 1)
Sobre um grupo $$G$$, com subgrupo $$H$$, define-se o conjunto $$X=\{xH,x\in G\}$$, das classes laterais à esquerda de $$H$$. a) O mapa $$G\times X\longrightarrow X$$,...
Exercícios de Homomorfismos de Grupos
Questão (Propriedades dos Homomorfismos) Seja os grupos $$G$$ e $$H$$, com suas respectivas operações de produto (lei da composição), e seja o homomorfismo $$\phi G\rightarrow...