2ª Fase - Unicamp Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2018 – 2ª Fase – Q 15 (Matemática)

Questão anterior


Questão

Considere a sequência de números reais $$(𝑎_{1}, 𝑎_{2}, 𝑎_{3}, 𝑎_{4}, 𝑎_{5})$$ tal que $$(𝑎_{1}, 𝑎_{2}, 𝑎_{3})$$ é uma progressão geométrica e $$(𝑎_{4}, 𝑎_{5})$$ é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão 𝑤.

a) Determine a sequência no caso em que $$𝑎_{3} = 3$$ e 𝑤 = 2.
b) Determine todas as sequências tais que $$𝑎_{1} = 1$$ e $$𝑎_{5} = 8$$.

Solução:

Para resolver os problemas, basta aplicar as definições de progressão aritmética e geométrica. Na aritmética, somamos a razão ao termo anterior para obtermos o termo seguinte. Na geométrica, multiplicamos a razão pelo termo anterior para obtermos o próximo.

a) Começando pela progressão aritmética, temos: $$a_{4}=3+2=5$$ e $$a_{5}=5+2=7$$.

Na progressão geométrica, teremos: $$a_{2}=a_{3}/2 = 3/2$$ e $$a_{1}=a_{2}/2 = 3/4$$. Eis a sequência: (3/4, 3/2, 3, 5, 7)

b) Colocaremos a sequência em função da razão $$w$$; (1,𝑤 ,𝑤²,w²+w,w²+2w), onde w²+2w=8. Resolvendo a equação, $$w^{2}+2w-8=0$$, por Bhaskara, teremos $$w=\frac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-8)}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$. As duas possíveis soluções são: $$w=2$$ ou $$w=-4$$.

As duas sequências são: (1,2,4,6,8) ou (1,-4,16,12,8).


Próximas Questões

Sobre o autor

Plenus