Matrizes em bloco – Exercício 1
Dadas as matrizes quadradas $$A$$ e $$B$$, e dada a matriz $$M=\left[\begin{array}{cc} A_{r\times r} & H_{r\times s}\\ F_{s\times r}&B_{s\times s} \end{array}\right]$$, uma matriz quadrada com...
Álgebra Linear
Transposição do Produto Matricial – Demonstração
Sejam as matrizes $$A_{m\times n}$$ e $$B_{n\times s}$$, então $$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$. Demonstração: i) Em primeiro lugar, observa-se o que ocorre com a multiplicação $$Av$$, em que...
Álgebra Linear
Nosso conteúdo de Álgebra Linear: definições, teoremas e demonstrações, exercícios numéricos e teóricos resolvidos. Definição de Espaços Vetoriais Exercícios Resolvidos sobre Espaços Vetoriais Exercícios...
Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 10)
Considere a transformação linear $$T :R^{3}⟶ R^{2}$$ dada por: $$T(x, y, z) = ( x – y – z , 2z – x )$$ ....
Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (exercício 6)
Considere o espaço vetorial real $$𝑉=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$$ e o subconjunto 𝑈={𝑝(𝑥)∈𝑉 | ∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥+2𝑝′(0)=0}. a) Mostre que o subconjunto 𝑈 é um subespaço vetorial de...
Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (exercício 5)
Seja $$V=\mathcal{F}(X,R)$$ o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em um conjunto X. Fixado $$t_{0} \in X $$, mostre que o conjunto $$U=\{f(x)∈V...
Axiomas de Espaço Vetorial – Exercício 3
Sejam v,w e u elementos de um espaço vetorial $$V$$ . Prove que é válida a lei do cancelamento: Se $$v+w =v+u$$, então $$w=u$$. Solução:
Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (exercício 4)
Sejam $$W_{1}$$ e $$W_{2}$$ subespaços de um espaço vetorial $$V$$ tais que $$W_{1} + W_{2} = V$$ e $$W_{1}\cap W_{2} = \{0\}$$. Determinar que, para...
Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 2
Seja $$P=I-uu^{T}$$, em que $$u=e_{r}-e_{s}$$, e $$e_{i}$$ é um elemento da base canônica de $$\mathbb{R}^{n}$$. Descreva o resultado do produto matricial $$e^{t}_{j}P$$, para $$j\in\{1,..,n\}$$. Solução:...
Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 1
Dada uma matriz $$A_{m\times n}$$ com entradas reais, descreva o resultado do produto $$C=E_{ik}A$$, em que $$E_{ik}=I_{m\times m}-\beta\cdot e_{i}e^{T}_{k}$$, $$\beta\in\mathbb{R}$$, $$k\in\mathbb\{1,…,m\}$$ e $$e_{i},e_{k}$$ são elementos...
Produto Interno – Exercício 5
Mostre que se $$w_{1},…,w_{k}$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x=α_{1} w_{1}+…+α_{k} w_{k}$$, então $$x= proj_{w_{1}} (x)+…+proj_{w_{k}} (x)$$. Lista de Exercícios Resolvidos sobre...
Álgebra Linear – Teorema da Matriz de Mudança de Base
Teorema Dado um espaço vetorial de dimensão finita $$V$$ sobre um corpo $$\mathcal{K}$$ com duas bases fixadas, $$\mathcal{S}=\{v_{1},..,v_{n}\}$$ e $$\mathcal{S}’=\{u_{1},..,u_{n}\}$$. Seja $$w\in V$$ tal que...