Seja um espaço vetorial $$V$$ gerado pelo conjunto linearmente independente $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Se houver um conjunto linearmente independente de $$\mathcal{B}=\{u_{1},..,u_{n}\}$$, então esse conjunto também é uma...
Seja $$S$$ um espaço vetorial de base $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Dado um conjunto de vetores linearmente independente $$\{u_{1},…,u_{k}\}$$, com $$k+r=n$$, existem vetores $$w_{1},…,w_{r}$$ tais que o conjunto...
Todo sistema linear homogêneo com $$m$$ equações e $$m+k$$ incógnitas admite uma solução não trivial. Em outras palavras, existe $$x_{m+k}$$ não nulo que satisfaz $$A_{m\times...
Dadas as matrizes quadradas $$A$$ e $$B$$, e dada a matriz $$M=\left[\begin{array}{cc} A_{r\times r} & H_{r\times s}\\ F_{s\times r}&B_{s\times s} \end{array}\right]$$, uma matriz quadrada com...
Mostre se a série $$\sum^{\infty}_{n=1}ln(\frac{n}{n+1})$$ é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu limite. Solução:
Calcule, se existir, o limite $$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2n-1}\cdot\frac{1}{2n+1}$$. Solução:
Sejam $$f,g: M\longrightarrow N$$ contínuas, em que $$M$$ e $$N$$ são espaços métricos. Dado $$a\in M$$, suponha que toda bola de centro $$a$$ contenha um...
Sejam as matrizes $$A_{m\times n}$$ e $$B_{n\times s}$$, então $$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$. Demonstração: i) Em primeiro lugar, observa-se o que ocorre com a multiplicação $$Av$$, em que...
Prove que todo domínio de integridade finito $$A$$ possui característica nula ou característica igual a um número primo. Solução: Para $$m=char(A)$$, tem-se que $$m$$ é...
Se $$u(t)$$ é função vetorial, com |u|=1. Mostre que $$u$$ é perpendicular ao vetor $$du/dt$$.
Se $$u=f(x,y)$$, $$x=r\cdot cos(\theta)$$ e $$y=r\cdot sen(\theta)$$, mostre que \[(\frac{\partial u}{\partial x})^{2}+(\frac{\partial u}{\partial y})^{2}=(\frac{\partial u}{\partial r})^{2}+\frac{1}{r^{2}}(\frac{\partial u}{\partial \theta})^{2}.\] Solução:
Seja $$X$$ um grafo com $$n$$ vértices. Mostre que $$X$$ é completo ou vazio se, e somente se, todas as transposições do grupo permutação $$S_{n}$$...
