Equação da Reta Tangente – Exercício 2

Determine β para que y=βx – 2 seja tangente ao gráfico de f(x) = x³-4x.

Solução:

A derivada da função fornece o coeficiente angular da reta tangente. Sabemos que $$f^{\prime }(x)=3x^2-4$$. Um ponto qualquer que satisfaz a equação da reta tangente é x₀, então $$f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-4=\beta$$. O ponto y₀ que pertence à reta tangente e à curva é $$y_0=x_0^3-4x_0$$.

Lembre-se de que $$y=y_0+m(x-x_0)$$. A fim de que a reta fornecida seja igual à reta tangente, devemos ter

$$\beta x–2=y_0+\beta (x-x_0).$$

Daqui, temos

$$\beta x–2=x_0^3-4x_0+\beta x-\beta x_0⟹$$

$$-2=x_0^3-4x_0-(3x_0^2-4)x_0=$$

$$-2=x_0^3-4x_0-3x_0^3+4x_0⟹$$

$$-2=-2x_0^3⟹x_0=1.$$

Consideramos apenas raízes reais da equação $$x_0^3=1$$.

Como $$3x_0^2-4=\beta$$, temos $$\beta =3\cdot 1–4=-1$$.

A equação da reta tangente é $$y=-x-2$$.