Produto Interno – Exercícios Resolvidos

Exercícios resolvidos de Álgebra Linear sobre Produtos Internos, Complemento Ortogonal, etc.

►Mostre que se $$w_1,\dots ,w_k$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x={\alpha }_1{w}_1+\dots +{\alpha }_k{w}_k$$, então $$x=pro{j}_{w_1}(x)+\dots +pro{j}_{w_k}(x)$$. Solução.

►Seja V o espaço vetorial das matrizes $$n\times n$$ sobre os complexos, com produto interno $$⟨A,B⟩=tr(A{B}^{\ast })$$. Determine o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais ($$Diag$$). Solução.

►Seja $$\{u_1,\dots ,u_n\}\subset E$$ uma base ortonormal. Prove que, para $$v,w\in E$$ arbitrários, tem-se $$<v,w>=\sum _{i=1}^n<v,u_i>\cdot <w,u_i>$$. Solução.

►Seja V um espaço vetorial real. Considere que $$⟨.{⟩}_1$$ e $$⟨.{⟩}_2$$ são dois produtos internos em V. Prove que a aplicação $$⟨u,w⟩=⟨u,w{⟩}_1+⟨u,w{⟩}_2$$, para quaisquer $$u,v\in V$$, também é um produto interno em V. Solução.

►Seja $$<,>$$ um produto interno no espaço vetorial real $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E⟶F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove que $$[,]$$ é um produto interno em $$E$$. Solução.

►Prove que um operador $$A:E⟶E$$, num espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não-nulos a, b ∈  E tais que $$Av=<v,a>b$$, para todo v ∈  E. Solução.

►Seja X um conjunto de geradores do espaço vetorial E, onde est ´a definido um produto interno. Se os vetores u, v ∈ E são tais que <u,w> = <v,w>, para qualquer w ∈ X, prove que u = v. Solução.