Progressão Aritmética – Exercício 17

Se a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (log x, log x³, …) é 200, o valor de x⁴ é:

a) 2.000
b) 10.000
c) 100
d) 1.000
e) 3.000

Solução:
Sabemos, das propriedades dos logaritmos, que $$log (x^{3})=3 log(x)$$. Conseguimos, assim, calcular a razão dessa progressão aritmética: $$r = log(x^{3})-log(x) = 3log(x)-log(x) =2 log(x)$$. Com o primeiro termo e a razão, temos o seguinte termo geral dessa pa:

\[a_{n}=log(x) + 2(n-1)log(x) = (2n-1)log(x).\]

Com o termo geral, calculamos que $$a_{20} = 39log(x)$$, e ,usando a fórmula da soma da PA, temos:

\[200 = S_{20}=20\cdot(\frac{log(x)+39log(x)}{2}) = 400 log(x).\]

A equação logarítmica é $$200 = 400 log(x)$$, donde se tem que $$1 = 2 log(x)$$. Aplicando a definição do logaritmo na base 10, temos $$x = 10^{1/2}$$. Como estamos procurando o valor de $$x^{4}$$, temos $$x^{4}=(10^{1/2})^{4} = 10^{2}=100$$.