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$$S = S_{0} + v_{0} t + \frac{at^{2}}{2}$$,

em que

• s é a posição em um determinado tempo;
• $$S_{0}$$ é a posição inicial;
• $$v_{0}$$ é a velocidade inicial;
• a é a aceleração e
• t é o tempo.

Agora é hora de praticar com nossa Lista de Exercícios sobre Função Horária da Posição.

Demonstração da Fórmula

Para a obtenção da Função Horária da Posição, vamos precisar do gráfico da Função Horária da Velocidade:

A área em azul é numericamente igual à distância $$\Delta S$$ percorrida. Temos, então,

$$\Delta S = \frac{v + v_{0}}{2} * \Delta t$$

Como $$t_{0} = 0$$, temos $$\Delta t = t$$. Sabemos também que $$v = v_{0} + at$$. Então vamos fazer substituições na equação acima.

$$\Delta S = \frac{v_{0} + at + v_{0}}{2} * t \longrightarrow \Delta S = \frac{2v_{0} * t + at^{2}}{2} \longrightarrow \Delta S = v_{0} * t + \frac{at^{2}}{2}$$

Fazendo $$\Delta S = S – S_{0}$$ e reescrevendo, teremos a famosa Função Horária da Posição.

$$S = S_{0} + v_{0} * t + \frac{at^{2}}{2}$$

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Confira nossa lista de Exercícios de Lançamento Vertical
Confira nossa lista de Exercícios de Função Horária da Posição no MUV

Solução:

Quando a lanterna caiu, sua velocidade era igual a do paraquedista. Portanto, se calcularmos a velocidade inicial da lanterna, saberemos a velocidade do paraquedista quando a lanterna foi solta. Vamos utilizar a função horária da posição.

$$\Delta S = v_{0} t + \frac{at^{2}}{2} \longrightarrow 90 = v_{0} *3 + \frac{10*3^{2}}{2} \longrightarrow v_{0} = 15m/s$$

O post Cinemática – Exercício 53 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Calcule:

a) o tempo gasto para alcançar a altura máxima.
b) a velocidade 4 s após o lançamento.
c) sua posição em relação ao nível h = 0, no instante 4s após o lançamento.
d) sua velocidade em h = 0.

Confira nossa lista de Exercícios de Lançamento Vertical

Solução:

a) Podemos calcular o tempo com a função horária da velocidade. Temos que $$v_{0} = 15m/s$$ e a = 10m/s². A aceleração é negativa pois está desacelerando o corpo. Como queremos o tempo na altura máxima, v = 0.

$$v = v_{0} + at \longrightarrow 0 = 15 – 10t \longrightarrow t = 1,5s$$

b) Sabemos que após 1,5s o objeto atinge a altura máxima e velocidade zero. Então vamos calcular a velocidade para 2,5s depois de atingir a altura máxima. Agora a aceleração é positiva, pois o objeto está sendo acelerado.

$$v = v_{0} + at \longrightarrow v = 0 + 10*2,5 \longrightarrow v = 25m/s$$

c) Após 1,5s, o objeto atinge a altura máxima. Então vamos primeiro calcular essa altura.

$$S = S_{0} + v_{0} t + \frac{at^{2}}{2} \longrightarrow S = 50 + 15*1,5 – \frac{10*1,5^{2}}{2} \longrightarrow S = 61,25m$$

Agora vamos utilizar o tempo restante para calcular quanto o objeto cai a partir da altura máxima.

$$S = 0 + 0*2,5 + \frac{10*2,5^{2}}{2} \longrightarrow S = 31,25m$$

Portanto, a posição em 4s a partir de h = 0 é

$$S = 61,25 – 31,25 = 30m$$

d) Sabemos que a altura máxima é $$h_{max} = 61,25m$$ e a velocidade nesse ponto é zero. Então vamos utilizar a equação de Torricelli para calcular a velocidade final.

$$v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\Delta S \longrightarrow v^{2} = 0^{2} + 2*10*61,25 \longrightarrow v = 35m/s$$

O post Cinemática – Exercício 52 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Após quanto tempo ele retorna ao solo?
b) Qual a altura atingida, em relação ao ponto de lançamento?

Confira nossa lista de Exercícios de Lançamento Vertical

Solução:

a) O tempo de subida é o mesmo de descida. Então podemos calcular o tempo de subida e multiplicar por 2. Sabemos que a aceleração da gravidade é 10 m/s². Além disso, em um lançamento vertical para cima, a gravidade é uma desaceleração enquanto o corpo está subindo, então a gravidade será negativa. Vamos utilizar a função horária da velocidade no MUV, sabendo que a velocidade na altura máxima é zero.

$$v = v_{0} + a*t \longrightarrow 0 = 30 – 10*t \longrightarrow t = 3\, s$$

b) Como temos o tempo, podemos utilizar a função horária da posição no MUV. Vamos considerar o ponto de lançamento como $$S_{0} = 0$$

$$S = S_{0} + v_{0} *t + \frac{a*t^{2}}{2} \longrightarrow S = 0 + 30*3 – \frac{10*3^{2}}{2} \longrightarrow S = 45\, m$$

Se não quisermos utilizar o tempo encontrado em a, podemos resolver com a equação de Torricelli também.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow 0^{2} = 30^{2} – 2*10*\Delta S \longrightarrow \Delta S = 45\, m$$

Considerando $$S_{0} = 0$$, temos S = 45 m.

O post Cinemática – Exercício 50 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Confira nossa lista de Exercícios de Função Horária da Velocidade no MUV
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Solução:

Primeiro vamos utilizar a função horária da velocidade no MUV para descobrir a aceleração do carro em função da velocidade inicial. A aceleração é negativa, pois o carro está freando.

$$v = v_{0} + a*t \longrightarrow 30 = v_{0} – a*4 \longrightarrow a = \frac{v_{0} – 30}{4}$$

Agora podemos utilizar a função horária da posição no MUV para encontrar a velocidade inicial.

$$\Delta S = v_{0} *t + \frac{a*t^{2}}{2} \longrightarrow 160 = v_{0} *4 – \frac{(v_{0} – 30)*4^{2}}{2*4} \longrightarrow 4v_{0} – 2v_{0} + 60 = 160 \longrightarrow 2v_{0} = 100 \longrightarrow v_{0} = 50\, m/s$$

O post Cinemática – Exercício 47 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 72 km/h
b) 54 km/h
c) 36 km/h
d) 18 km/h
e) 10 km/h

Confira nossa lista de Exercícios de Função Horária da Velocidade no MUV
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Solução:

Aqui primeiro precisamos descobrir a aceleração utilizando a função horária da posição no MUV.

$$\Delta S = v_{0} *t + \frac{a*t^{2}}{2} \longrightarrow 100 = 0*10 +\frac{a*10^{2}}{2} \longrightarrow a = 2\, m/s^{2}$$

Agora podemos utilizar a função horária da velocidade no MUV para encontrar a velocidade na chegada.

$$v = v_{0} + a*t \longrightarrow v = 0 + 2*10 \longrightarrow v = 20\, m/s$$

Só falta converter a velocidade de m/s para km/h.

$$v = 20*3,6 \longrightarrow v = 72\, km/h$$

O post Cinemática – Exercício 46 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Confira nossa lista de Exercícios de Função Horária da Velocidade no MUV
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Solução:

Primeiro temos que encontrar a aceleração do trem com a função horária da velocidade.

$$v_{f} = v_{0} + a*t \longrightarrow 25 = 15 + a*20 \longrightarrow a = 0,5\, m/s^{2}$$

Agora vamos utilizar a função horária da posição para encontrar a distância percorrida. Essa distância é o tamanho do trem todo.

$$S = S_{0} + v_{0} *t + \frac{a*t^{2}}{2} \longrightarrow S – S_{0} = 15*20 + \frac{0,5*20^{2}}{2} \longrightarrow \Delta S = 400\, m$$

O trem todo tem 400 m. São 19 vagões e uma locomotiva, todos medindo L. Então são 20 partes de tamanho L.

$$20L = 400 \longrightarrow L = 20\, m$$

O post Cinemática – Exercício 39 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Confira nossa lista de Exercícios de Função Horária da Velocidade no MUV
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Solução:

A altura máxima indica que a velocidade final é zero. Portanto v = 0. Podemos considerar o ponto de partida do arremesso como zero, então $$S_{0} = 0$$ e S = 10 m. Falta saber a velocidade inicial do arremesso. Podemos encontrá-la pela função horária da velocidade. A aceleração será negativa, pois o movimento está para cima e a aceleração da gravidade sempre aponta para baixo.

$$v = v_{0} + a*t \longrightarrow 0 = v_{0} – g*2 \longrightarrow v_{0} = 2g$$

Agora podemos utilizar a função horária da posição.

$$S = S_{0} + v_{0} *t + \frac{a*t^{2}}{2} \longrightarrow 10 = 0 + 2g*2 – \frac{g*2^{2}}{2} \longrightarrow 2a = 10 \longrightarrow a = 5\, m/s^{2}$$

O post Cinemática – Exercício 38 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Calcule em quanto tempo ele atinge a velocidade do som.
b) Calcule a distância percorrida nesse intervalo de tempo.

Confira nossa lista de Exercícios de Função Horária da Velocidade no MUV
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Solução:

a) Aqui vamos utilizar a função horária da velocidade. Segundo o enunciado, $$v_{0} = 0$$ e a = 10 m/s². Como o movimento está no mesmo sentido que a aceleração, está é positiva.

$$v = v_{0} + at \longrightarrow 300 = 0 + 10*t \longrightarrow t = 30\, s$$

b) Com o tempo encontrado, utilizamos a função horária da posição. Adotamos $$S_{0} = 0$$.

$$S = S_{0} + v_{0} *t + \frac{a*t^{2}}{2} \longrightarrow S = 0 + 0*30 + \frac{10*30^{2}}{2} \longrightarrow S = 4500\, m$$

O post Cinemática – Exercício 37 apareceu primeiro em Educacional Plenus.