Sejam $$f$$ e $$g$$ duas funções tais que a imagem da $$f$$ é um subconjunto do domínio da $$g$$. Se $$g$$ é uma função contínua em $$a$$ e $$lim_{x\to p}f(x) = a$$, então $$lim_{x\to p}g(f(x)) =g(a)$$.
Solução:
Por hipótese do limite da $$f$$, dado $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que, se $$|x-p|<\delta$$, então $$|f(x)-a|<\epsilon$$. Por hipótese da continuidade da $$g$$, para qualquer $$\lambda>0$$, existe $$\gamma>0$$ tal que, se $$|y-a|<\gamma$$, então $$|g(y)-g(a)|<\lambda$$.
Como a primeira sentença é válida para todo ε>0, valerá, em particular, para $$\epsilon = \gamma$$, sendo γ>0 um número que existe em função de λ>0. Pela concatenação lógica das duas sentenças, e observando que $$y$$ pode ser igual a $$f(x)$$, teremos que:
dado λ>0, existem γ,δ>0 tais que:
- se $$|x-p|<\delta$$, então $$|f(x)-a|<\gamma$$;
- se $$|f(x)-a|<\gamma$$, então $$|g(f(x))-g(a)|<\lambda$$;
- portanto, se $$|x-p|<\delta$$, temos $$|g(f(x))-g(a)|<\lambda$$.
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