Observação (notação para a vizinhança de um ponto): $$V_{(\delta)}(x)=\{p\in\mathbb{R}; |x-p|<\delta\}$$.
Questão
Prove que, para todo $$X\subset\mathbb{R}$$, tem-se $$int(int(X))=int(X)$$ e conclua que $$int(X)$$ é um conjunto aberto.
Solução:
Suponha que exista $$p\in int(X)$$ tal que $$p\notin int(int(X))$$. Por hipótese, existe $$\epsilon_{0}>0$$ tal que $$V_{\epsilon_{0}}(p)\subset X$$.
Pela afirmação feita, ($$p$$ não é ponto de $$int(int(X))$$) temos a existência de $$x\in V_{\epsilon}(p)$$ de modo que $$x\notin int(X)$$, seja qual for $$\epsilon>0$$. Tomemos $$\epsilon = \epsilon_{0}/2$$. Deste modo, $$x\in V_{\epsilon_{0}/2}(p)\subset V_{\epsilon_{0}}(p)$$.
Além disso, para qualquer $$\delta>0$$, existirá $$y\notin X$$ tal que $$y\in V_{\delta}(x)$$, dado que $$x$$ não é ponto do interior de $$X$$.
\[|y-p|\leq |x-p|+|y-x|<\delta + \epsilon_{0}/2\].
Escolhendo $$\delta<\epsilon_{0}/2$$, teremos $$|y-p|<\epsilon_{0}$$, isto é, $$y\in V_{\epsilon_{0}}(p)$$, o que configura uma absurdidade, dado que $$y\notin X$$ e $$V_{\epsilon_{0}}(p)\subset X$$.
Logo $$int(X)\subset int(int(X))\Longrightarrow int(X)= int(int(X))$$.
De imediato, concluímos que $$int(X)$$ é aberto, dado que é igual ao seu interior.
Questão
Seja $$A\subset\mathbb{R}$$ um conjunto com a seguinte propriedade: “toda sequência $$(x_{n})$$ que converge para um ponto $$a\in A$$ tem seus termos $$x_{n}$$ pertencentes ao conjunto $$A$$, para $$n$$ suficientemente grande”. Prove que $$A$$ é aberto.
Solução:
Suponha a existência de $$a\in A$$ que não seja um ponto interior de $$A$$. Neste caso, tomando uma sequência de números $$\epsilon$$, para todo $$\epsilon_{k}>0$$, existirá $$x_{k}\in V_{\epsilon_{k}}(a)$$, com $$x_{k}\notin A$$.
A sequência $$(x_{n})$$ converge para $$a$$, uma vez que, dado $$\epsilon>0$$, existe $$k_{0}\in\mathbb{N}$$ tal que, para $$k>k_{0}, temos: $$|x_{k}-a|<\epsilon$$.
A sequência construída contradiz a definição do conjunto $$A$$, pois os termos $$x_{k}$$ pertence ao conjunto $$A$$> Ou seja, não podemos construir uma sequência que convirja para $$a\in A$$ e não tenha seus elementos em $$A$$, para $$n$$ suficientemente grande.
Portanto os pontos de $$A$$ são interiores, ou seja, $$A$$ é um conjunto aberto.
Questão
Propriedades dos interiores.
a) $$int(A\cap B) = int(A)\cap int(B)$$.
b) $$int (A\cup B)\supset int(A)\cup int(B)$$
Solução:
a) Seja $$x\in int(A)$$ e $$\in int(B)$$, então existem $$\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$$, com $$V_{\epsilon}(x)\subset A$$, e $$V_{\epsilon_{2}}(x)\subset B$$. Tomando $$\epsilon= min{\epsilon_{1},\epsilon_{2}}$$, teremos $$V_{\epsilon}(x)\subset A,B$$.
Deste modo, $$V_{\epsilon_{1}}(x)\subset A\cap B$$, logo $$x\in int(A\cap B)$$.
Por outro lado, seja $$x\in int(A\cap B)$$, então existe $$\epsilon>0$$ tal que $$V_{\epsilon}(x)\subset A\cap B$$. Logo $$V_{\epsilon}(x)\subset A,B$$, ou seja, $$x\in int(A)$$ e $$x\in int(B)$$.
b)
Seja $$x\in int(A)$$ ou $$x\in int(B)$$. Existirão $$\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$$ tais que $$V_{\epsilon_{1}}\subset A$$ e $$V_{\epsilon_{2}}\subset B$$. Tomemos $$\epsilon= min{\epsilon_{1},\epsilon_{2}}$$.
Do primeiro caso, $$V_{\epsilon}\subset A \subset A\cup B$$, portanto $$x\in int(A\cup B)$$. O segundo caso é análogo.
Finalmente, em ambos os casos, o caminho é $$x\in int(A\cup B)$$.
Questão
Se $$A\subset\mathbb{R}$$ é aberto, e $$a\in A$$, então $$A-\{a\}$$ é aberto.
Solução:
Note que $$\{a\}^{C} =\mathbb{R}-\{a\}$$. O interior deste conjunto é ele próprio.
Usaremos a propriedade da questão anterior: $$int(A)=A$$, pois $$A$$ é aberto, e $$int(A-\{a\})=int(A\cap\{a\}^{C})= int(A)\cap int(\{a\}^{C})= A\cap int(\{a\}^{C})=A\cap \mathbb{R}-\{a\} = A-\{a\} $$, ou seja, o interior do conjunto é igual a ele próprio, portanto é aberto.
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