Integração por substituição

Olá, pessoal, tudo bem?

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Neste tópico do Cálculo Diferencial e Integral I, vamos conversar sobre as integrais por substituição na seguinte forma:

\[\int f(x(t))dx=\int f(t) x’dt\].

Para isso, consideramos as hipóteses iniciais do problema.

Seja a função $$f(x)$$ integrável no sentido de Riemman, com integral $$F(x)$$. Seja $$g(x)=u$$, com imagem sendo um subconjunto do domínio de $$f(x)$$. Além disso, $$du=g(x)’ dx$$.

Vale o Teorema da Função Composta: $$F(g(x))’=F(g(x))’\cdot g(x)’$$. A partir deste teorema e da hipótese inicial ($$\int f(x) dx=F(x)+K$$), podemos concluir que

\[F(g(x))=\int f(g(x)) dx=\int f(u)\cdot du\]

Bem, agora que você já viu como é a teoria para este tipo de integral, vamos conferir alguns exemplos práticos.