Axiomas de Espaço Vetorial – Exercício 5
Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais e considere o corpo dos números reais. Definamos as operações: Soma: (x1,y1)...
Álgebra Linear
Transformação Linear – Exercício 12
Determine uma transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que \[ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} | x+y+z=0\}.\] Solução:
Demonstração de n⋅v = v+….+v (n- vezes)
Demonstração desta propriedade de espaços vetoriais: \[n\cdot v = \sum^{n}_{1}v.\] Usamos a Indução Finita para demonstrar esta igualdade e os axiomas das operações com vetores...
Demonstração de (-1)⋅v = (-v)
Usando os axiomas de Espaços Vetoriais, provamos a propriedade.
Demonstração de 0⋅v = 0V
Demonstração de uma consequência imediata dos axiomas de espaço vetorial.
Transformações Lineares – Exercício 21
Sejam $$V$$ e $$W$$ espaços vetoriais sobre o corpo $$F$$, e seja $$U$$ um isomorfismo de $$V$$ em $$W$$. Demonstrar que $$\phi: T\mapsto UTU^{-1}$$ é...
Produto Interno – Exercício 7
Seja V o espaço vetorial das matrizes $$n\times n$$ sobre os complexos, com produto interno $$\langle A,B\rangle = tr (AB^{*})$$. Determinar o complemento ortogonal do...
Produto Interno – Exercício 6
Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno. Dado $$v\in V$$, suponha que, para todo $$s\in S$$, em que $$S$$ é um subespaço de...
Produto Interno – Exercícios Resolvidos
Exercícios resolvidos de Álgebra Linear sobre Produtos Internos, Complemento Ortogonal, etc. ►Mostre que se $$w_{1},…,w_{k}$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x=α_{1} w_{1}+…+α_{k}...
Transformações Lineares – Exercício 20
Determine a transformação linear T:R²→Ρ3 (R) tal que T(1,1) = x²-1 T(1,-1) = x³+1 Solução:
Transformações Lineares – Exercício 19
Determine a transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que $$T(1,0,0)=(0,0,1)$$, $$T(1,0,1)=(1,1,1)$$ e T(0,-1,1)=(1,1,0)$$. Solução: https://youtu.be/BDqCcmEO56A
Funcionais Lineares – Exercício 2
Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$\varphi$$ um funcional linear de $$V^{*}$$. Se $$v_{0}\notin ker{\varphi}$$, prove que $$V=ker(\varphi) + span \{v_{0}\}$$. Em outras palavras,...