Introdução à Análise Funcional – Espaço de Hilbert (exercício 3)

Questão

Mostre que, para uma sequência $$(x_n)$$, em um espaço vetorial munido de produto interno,

se $$||x_n||⟶||x||$$ e $$<x_n,x>⟶<x,x>$$, é válida a convergência $$x_n⟶x$$.

Demonstração:

Observa-se que $$||x_n||⟶||x||⟺||x_n|{|}^2⟶||x|{|}^2$$. Precisamos mostrar a sentença a seguir:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}||x_n-x||=0$$.

Para tanto, assumamos que $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}||x_n-x||=0⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}||x_n-x|{|}^2=0$$.

Por definição, $$||x_n-x|{|}^2=<x_n-x;x_n-x>=<x_n;x_n>+<x;x>-<x_n;x>-<x;x_n>$$. Note também que $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{a_n}=\overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$$, para uma sequência numérica, definida nos números complexos. Da hipótese, $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}-<x_n;x>=-<x;x>=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}-\overline{<x;x_n>}$$Calculamos a sentença a seguir:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}||x_n-x|{|}^2=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}<x_n-x;x_n-x>=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}<x_n;x_n>+<x;x>\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}-<x_n;x>\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}-<x;x_n>=$$

$$2<x,x>-<x,x>-<x,x>=0$$.

Daqui, segue que $$x⟶x$$.