Calcule o limite, se existir, e justifique.
$$\lim_{x\to 0} \frac{tg(x)}{x}$$.
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Solução:
Sabendo que a função $$cos(x)$$ é contínua (Teorema 1), podemos concluir que $$\lim_{x\to 0} cos(x)=cos(0)=1$$, portanto existirá o limite a seguir e terá o seu respectivo resultado:
\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}cos(x)}=1.\]
Agora, observe que $$\frac{tg(x)}{x}=\frac{sen(x)}{x\cdot cos(x)}=\frac{1}{cos(x)}\frac{sen(x)}{x}$$.
A última expressão tem limite, pois os fatores do produto possuem limites calculáveis. Portanto podemos concluir que
\[\lim_{x\to 0} \frac{tg(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}\cdot\frac{sen(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}=1\cdot 1=1\]
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