Subespaço Vetorial – Exercícios

Lista de exercícios resolvidos sobre subespaços vetoriais.

•Considere o espaço vetorial real $$𝑉={\mathcal{P}}_2(\mathbb{R})$$ e o subconjunto 𝑈={𝑝(𝑥)∈𝑉 | ∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥+2𝑝′(0)=0}.
a) Mostre que o subconjunto 𝑈 é um subespaço vetorial de 𝑉
b) Determine uma base para 𝑈
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• Sejam $$F_1$$ e $$F_2$$ subespaços vetoriais de $$E$$. Se existir algum $$a\in E$$, para o qual $$a+F_1=F_2$$, prove que $$F_1\subset F_2$$.
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• Seja $$V=\mathcal{F}(X,R)$$ o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em um conjunto X. Fixado $$t_0\in X$$, mostre que o conjunto $$U=\{f(x)\in V|f(t_0)=0\}$$ é um subespaço vetorial de $$V$$. Clique para ver a solução

• Seja $$V$$ o espaço vetorial das funções dos reais nos reais. Seja $$E_p$$ o subconjunto de $$V$$, cujas funções são pares. Seja $$E_i$$ o subconjunto com funções ímpares. Prove os itens:
a) $$E_p$$ e $$E_i$$ são subespaços vetoriais.
b) $$E_p\cap E_i=\mathrm{\varnothing }$$.
c) $$V=E_p\oplus E_i$$ (soma direta).
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• Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro. Clique para ver a solução.