2ª Fase - UnicampForçasGravitação
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UNICAMP 2016 – Q. 8

Plutão é considerado um planeta anão, com massa $$M_{P} = 1\cdot 10^{22}\, kg$$, bem  menor que a massa da Terra. O módulo da força gravitacional entre duas massas $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$ é dado por $$F_{g} = G\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$$, em que $$r$$ é a distância entre as massas e $$G$$ é a constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA).

a) Considere que, durante a sua aproximação a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está $$d_{P} = 0,15\, UA$$ distante do centro de Plutão e $$d_{T} = 30\, UA$$ distante do centro da Terra. Calcule a razão ($$\frac{F_{gT}}{F_{gP}}$$) entre o módulo da força gravitacional com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário, use a massa da Terra $$M_{T} = 6\cdot 10^{24}\, kg$$.

b) Suponha que a sonda New Horizons estabeleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de $$r_{P} = 1\cdot 10^{-4}\, UA$$. Obtenha o módulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante gravitacional $$G = 6\cdot 10^{-11}\, N.m^{2} /kg^{2}$$. Caso necessário, use 1 UA (Unidade astronômica) = $$1,5\cdot 10^{8}\, km$$.

Solução:

a) Precisamos calcular as duas forças e depois dividi-las.
\[F_{gT} = G\frac{M_{T} m_{s}}{d_{T} ^{2}}\]\[F_{gP} = G\frac{M_{P} m_{s}}{d_{P} ^{2}}\]\[\frac{F_{gT}}{F_{gP}} = G\frac{M_{T} m_{s}}{d_{T} ^{2}}\cdot \frac{d_{P} ^{2}}{GM_{P} m_{s}} \longrightarrow \frac{F_{gT}}{F_{gP}} = \frac{6\cdot 10^{24}}{30 ^{2}}\cdot \frac{0,15 ^{2}}{1\cdot 10^{22}} \longrightarrow \frac{F_{gT}}{F_{gP}} = 0,015\]

b) Para calcular a velocidade orbital, podemos utilizar a seguinte equação: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$. Temos que $$G = 6\cdot 10^{−11}\, N.m^{2} /kg^{2}$$, $$M_{P} = 1\cdot 10^{22}\, kg$$ e $$r_{P} = 1\cdot 10^{−4}\, UA = 1,5\cdot 10^{7}\, m$$. Portanto \[v = \sqrt{\frac{6\cdot 10^{−11}\cdot 1\cdot 10^{22}}{1,5\cdot 10^{7}}} \longrightarrow v = 200\, m/s\]

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