Vetores – Exercício 2

Sejam u e v dois vetores de comprimentos iguais, mostre que para quaisquer números a e b, os vetores
au + bv e av + bu têm o mesmo comprimento.

Solução:

Escrevemos

$$(\ast )||au+bv|{|}^2=⟨(au+bv),(au,bv)⟩=a^2⟨v,v⟩+2ab⟨v,u⟩+b^2⟨u,u⟩$$.

Dado que, por hipótese, ||u||=||v||, temos $$⟨u,u⟩=$$\langle v,v\rangle$$.Dessemodo,podemosreescreveraequação$$(*)$$ substituindo um produto interno pelo outro e invertendo a ordem do produto interno entre os dois vetores (propriedade simétrica):

$$⟨(au+bv),(au,bv)⟩=a^2⟨u,u⟩+2ab⟨u,v⟩+b^2⟨v,v⟩(\ast \ast ).$$

Por definição da norma euclidiana, sabemos que $$||av+bu|{|}^2=(\ast \ast )$$, isto é: $$||au+bv|{|}^2=||av+bu|{|}^2$$. Isso só ocorre se ambas as normas tiverem o mesmo valor real positivo. Logo os comprimentos dos vetores são idênticos.