Seja $$\mathcal{V}=\{v_{1},…,v_{n}\}$$ é uma base do espaço vetorial $$E$$.Para cada $$i=1,2,…,n$$, seja $$\Phi_{i}: E\longrightarrow\mathbb{R}$$ o funcional linear determinado pelas condições: $$\Phi_{i}(v_{i})= 1$$, $$\Phi_{i}(v_{j})= 0$$, se...
No espaço vetorial $$\mathcal{P}$$ dos polinômios, considere os operadores lineares $$D,A:\mathcal{P}\longrightarrow\mathcal {P}$$ de derivação ($$D(p(x))=p'(x)$$) e multiplicação por $$x$$ ($$A(p(x)))=x\cdot p(x)$$), respectivamente. Determine $$DA-AD$$. Solução:...
Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes:...
Seja $$𝑭:𝑹^{𝟒}→𝑹^{𝟑}$$ a transformação linear definida por 𝑭(𝒙,𝒚,𝒛,𝒕)=(𝒙−𝒚+𝒛+𝒕, 𝒙+𝟐𝒛−𝒕, 𝒙+𝒚+𝟑𝒛−𝟑𝒕) Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de F, (b) do núcleo de...
Seja $$T$$ um operador linear sobre o espaço de dimensão finita $$V$$. Se $$posto(T^{2})=posto(T)$$, então a imagem e o núcleo de $$T$$ são disjuntos. Demonstração:...
Considere U , V e W espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam T : U → V e P : V → W transformações Lineares....
Sejam 𝑉 um espaço vetorial de dimensão finita, com dim(𝑉 ) = 𝑛, e 𝑇 : 𝑉 → 𝑉 uma transformação linear tal que dim(𝐼𝑚(𝑇))...
Se v e w são respectivamente autovetores de A e A*, correspondentes a autovalores λ e μ, com λ≠μ , prove que ‹v,w› = 0....
Seja o conjunto de vetores $$\{v_{1},…,v_{k}\}$$ associados aos autovalores $$\{\lambda_{1},…,\lambda_{k}\}$$ distintos de uma matriz $$A_{n\times n}$$. Prove que os vetores são linearmente independentes. Demonstração: Provaremos,...
Seja um espaço vetorial $$V$$ gerado pelo conjunto linearmente independente $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Se houver um conjunto linearmente independente de $$\mathcal{B}=\{u_{1},..,u_{n}\}$$, então esse conjunto também é uma...
Seja $$S$$ um espaço vetorial de base $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Dado um conjunto de vetores linearmente independente $$\{u_{1},…,u_{k}\}$$, com $$k+r=n$$, existem vetores $$w_{1},…,w_{r}$$ tais que o conjunto...
Todo sistema linear homogêneo com $$m$$ equações e $$m+k$$ incógnitas admite uma solução não trivial. Em outras palavras, existe $$x_{m+k}$$ não nulo que satisfaz $$A_{m\times...
