Derivada da Tangente

Como calcular a derivada da função tangente, usando as derivadas de seno e cosseno e a regra de derivação do quociente? Veja a solução abaixo!

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Solução:

Sabemos que $$sen'(x)=cos(x)$$ e $$cos'(x)=-sen(x)$$. Também devemos nos lembrar da identidade fundamental da trigonometria: $$cos^{2}(x)+sen^{2}(x)=1$$.

Como a tangente é definida deste modo: $$tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$$, usamos a regra da derivada da divisão, de sorte que

\[tg'(x)=(\frac{sen(x)}{cos(x)})’=\frac{sen'(x)cos(x)-sen(x)cos'(x)}{cos^{2}(x)}=\]

\[\frac{cos^{2}(x)+sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=\frac{1}{cos^{2}(x)}(*).\]

Na trigonometria, temos a função secante, que é definida como o inverso do cosseno, isto é: $$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$$. Aplicando tal definição em $$(*)$$, obtemos

\[tg'(x)=\frac{1}{cos^{2}(x)}=(\frac{1}{cos(x)})^{2}=sec^{2}(x).\]