O post Equação de Torricelli – Exercícios apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Calcule:

a) o tempo gasto para alcançar a altura máxima.
b) a velocidade 4 s após o lançamento.
c) sua posição em relação ao nível h = 0, no instante 4s após o lançamento.
d) sua velocidade em h = 0.

Confira nossa lista de Exercícios de Lançamento Vertical

Solução:

a) Podemos calcular o tempo com a função horária da velocidade. Temos que $$v_{0} = 15m/s$$ e a = 10m/s². A aceleração é negativa pois está desacelerando o corpo. Como queremos o tempo na altura máxima, v = 0.

$$v = v_{0} + at \longrightarrow 0 = 15 – 10t \longrightarrow t = 1,5s$$

b) Sabemos que após 1,5s o objeto atinge a altura máxima e velocidade zero. Então vamos calcular a velocidade para 2,5s depois de atingir a altura máxima. Agora a aceleração é positiva, pois o objeto está sendo acelerado.

$$v = v_{0} + at \longrightarrow v = 0 + 10*2,5 \longrightarrow v = 25m/s$$

c) Após 1,5s, o objeto atinge a altura máxima. Então vamos primeiro calcular essa altura.

$$S = S_{0} + v_{0} t + \frac{at^{2}}{2} \longrightarrow S = 50 + 15*1,5 – \frac{10*1,5^{2}}{2} \longrightarrow S = 61,25m$$

Agora vamos utilizar o tempo restante para calcular quanto o objeto cai a partir da altura máxima.

$$S = 0 + 0*2,5 + \frac{10*2,5^{2}}{2} \longrightarrow S = 31,25m$$

Portanto, a posição em 4s a partir de h = 0 é

$$S = 61,25 – 31,25 = 30m$$

d) Sabemos que a altura máxima é $$h_{max} = 61,25m$$ e a velocidade nesse ponto é zero. Então vamos utilizar a equação de Torricelli para calcular a velocidade final.

$$v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\Delta S \longrightarrow v^{2} = 0^{2} + 2*10*61,25 \longrightarrow v = 35m/s$$

O post Cinemática – Exercício 52 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Foi Evangelista Torricelli que, trabalhando com Galileu Galilei, derivou esta fórmula a partir das conhecidas equações horárias do espaço da velocidade no MUV ou MRUV. Aplicações da fórmula são encontradas em todo o estudo da cinemática, mas se destacam no lançamento horizontal e no lançamento vertical.

A famosa equação é

v² = v₀² + 2aΔs,

em que

• • v₀ é a velocidade inicial do objeto;
  • v é a velocidade final do objeto;
  • a é a aceleração; e
  • Δs é a variação do espaço.

Agora é hora de praticar com nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre a Equação de Torricelli.

Demonstração da Fórmula

Vamos utilizar duas funções muito conhecidas do MUV: função da velocidade e função da posição:

• Função horária da velocidade: v = v₀ + at; e
• Função horária da posição: S = S₀ + v₀t + (a/2)t²

Como queremos eliminar a variável tempo, vamos isolar t na função da velocidade.

$$t = \frac{v – v_{0}}{a}$$

Agora substituímos t na função da posição.

$$S – S_{0} = v_{0} (\frac{v – v_{0}}{a}) + \frac{a}{2} (\frac{v – v_{0}}{a})^{2}\Longrightarrow$$

$$\Delta S = \frac{v_{0} v – v_{0}^{2}}{a} + \frac{a}{2a^{2}} (v^{2} – 2vv_{0} + v_{0}^{2})\Longrightarrow$$

$$\Delta S = \frac{2v_{0} v – 2v_{0}^{2} + v^{2} -2v_{0} v + v_{0}^{2}}{2a}\Longrightarrow$$

Cancelando alguns termos e reescrevendo, temos a famosa equação de Torricelli:

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2a\Delta S$$

Segunda Demonstração da Fórmula

Buscamos uma expressão que seja livre da variável tempo. Para isso, vamos escrever o “sorvetão” do seguinte modo: ΔS = v₀t + (a/2)t². Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator 2a e ficamos com

\[2a\Delta S = 2av_{0}t + a^{2}t^{2}\Longrightarrow\]

\[2a\Delta S = at (2v_{0} + at) (*).\]

Agora, vamos substituir na equação $$(*)$$ a função horária da velocidade, que será escrita do seguinte modo: at = v – v_o . Obtemos, assim, a fórmula

\[ 2a\Delta S = (v-v_{0})(2v_{0}+v-v_{0})= (v-v_{0})(v+v_{0}) (**).\]

Note que a expressão à direita de $$(**)$$ é uma diferença de quadrados, donde se tem que

\[2a\Delta S = v^{2}-v_{0}^{2} (***).\]

Finalmente, reescrevemos $$(***)$$ na forma por nós há muito conhecida:  v² = v²₀ + 2aΔs.

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a) Após quanto tempo ele retorna ao solo?
b) Qual a altura atingida, em relação ao ponto de lançamento?

Confira nossa lista de Exercícios de Lançamento Vertical

Solução:

a) O tempo de subida é o mesmo de descida. Então podemos calcular o tempo de subida e multiplicar por 2. Sabemos que a aceleração da gravidade é 10 m/s². Além disso, em um lançamento vertical para cima, a gravidade é uma desaceleração enquanto o corpo está subindo, então a gravidade será negativa. Vamos utilizar a função horária da velocidade no MUV, sabendo que a velocidade na altura máxima é zero.

$$v = v_{0} + a*t \longrightarrow 0 = 30 – 10*t \longrightarrow t = 3\, s$$

b) Como temos o tempo, podemos utilizar a função horária da posição no MUV. Vamos considerar o ponto de lançamento como $$S_{0} = 0$$

$$S = S_{0} + v_{0} *t + \frac{a*t^{2}}{2} \longrightarrow S = 0 + 30*3 – \frac{10*3^{2}}{2} \longrightarrow S = 45\, m$$

Se não quisermos utilizar o tempo encontrado em a, podemos resolver com a equação de Torricelli também.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow 0^{2} = 30^{2} – 2*10*\Delta S \longrightarrow \Delta S = 45\, m$$

Considerando $$S_{0} = 0$$, temos S = 45 m.

O post Cinemática – Exercício 50 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) 10
B) 12
C) 15
D) 16
E) não pode ser calculada

Confira nossa lista de Exercícios de Equação de Torricelli

Solução:

Primeiro vamos utilizar a equação de Torricelli para encontrar $$a*\Delta S$$ para o trecho AB.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow 6^{2} = 2^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow a*\Delta S = \frac{32}{2} \longrightarrow a*\Delta S = 16$$

Agora vamos aplicar a equação de Torricelli novamente para $$2\Delta S$$.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow v^{2} = 6^{2} + 2*a*2\Delta S \longrightarrow v^{2} = 36 + 4*a*\Delta S \longrightarrow v^{2} = 36 + 4*16 \longrightarrow v^{2} = 100 \longrightarrow v = 10\, m/s$$

O post Cinemática – Exercício 48 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Qual é a velocidade no instante em que ele abandona completamente a ponte?
b) Qual é o tempo gasto pelo trem para atravessar completamente a ponte?

Confira nossa lista de Exercícios de Equação de Torricelli
Confira nossa lista de Exercícios de Função Horária da Velocidade no MUV

Solução:

a) Aqui não temos o tempo, então vamos utilizar a equação de Torricelli. A aceleração é positiva, pois a velocidade está aumentando. A distância percorrida deve ser o tamanho da ponte mais o tamanho do trem, pois ele é um corpo extenso e o enunciado pede a velocidade quando o trem atravessou completamente a ponte, ou seja, quando o fim do trem passa pelo fim da ponte.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow v^{2} = 0^{2} + 2*0,8*(200+160) \longrightarrow v = 24\, m/s$$

b) Agora podemos utilizar a função horária da velocidade no MUV.

$$v = v_{0} + a*t \longrightarrow 24 = 0 + 10*t \longrightarrow t = 2,4\, s$$

O post Cinemática – Exercício 45 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Confira nossa lista de Exercícios de Equação de Torricelli

Solução:

Aqui vamos utilizar a equação de Torricelli, pois não temos o tempo. Como o carro está freando, a aceleração será negativa.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow 0^{2} = v_{0} ^{2} – 2*10*20 \longrightarrow v_{0} = 20\, m/s$$

Agora só precisamos converter essa velocidade de m/s para km/h.

$$v_{0} = 20*3,6 \longrightarrow v_{0} = 72\, km/h$$

O post Cinemática – Exercício 44 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 15 m.
b) 31,25 m.
c) 52,5 m.
d) 77,5 m.
e) 125 m.

Confira nossa lista de Exercícios de Equação de Torricelli

Solução:

Aqui temos a aceleração e as velocidades inicial e final, mas não temos o tempo. Então vamos utilizar a equação de Torricelli. Como o motorista está freando, a aceleração será negativa.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow 0 = 25^{2} – 2*5*\Delta S \longrightarrow \Delta S = 62,5\, m$$

À essa distância, precisamos somar ainda a distância que o carro percorre antes de começar a frear.

$$\Delta S_{T} = 62,5 + 15 \longrightarrow \Delta S_{T} = 77,5\, m$$

O post Cinemática – Exercício 43 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 50
b) 75
c) 100
d) 125

Confira nossa lista de Exercícios de Equação de Torricelli

Solução:

Aqui temos velocidades inicial e final e a distância percorrida, mas não temos o tempo. Então vamos utilizar a equação de Torricelli. Como é uma desaceleração, a é negativo.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2*a*\Delta S \longrightarrow 0 = 10^{2} – 2*a*0,5 \longrightarrow a = 100\, m/s^{2}$$

O post Cinemática – Exercício 42 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Confira nossa lista de Exercícios de Equação de Torricelli

Solução:

Primeiro precisamos descobrir qual é a aceleração do esquiador. Como não temos o tempo gasto no percurso, vamos utilizar a equação de Torricelli.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2a\Delta S \longrightarrow 30^{2} = 0^{2} + 2*a*100 \longrightarrow a = 4,5\, m/s^{2}$$

Com essa aceleração, podemos calcular a velocidade pedida, ainda utilizando Torricelli.

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2a\Delta S \longrightarrow v^{2} = 0^{2} + 2*4,5*36 \longrightarrow v = 18\, m/s$$

O post Cinemática – Exercício 41 apareceu primeiro em Educacional Plenus.