Vetores – Exercício 2
Sejam u e v dois vetores de comprimentos iguais, mostre que para quaisquer números a e b, os vetores au + bv e av +...
produto interno
Produto Interno – Exercício 8
Seja V um espaço vetorial real. Considere que $$\langle . \rangle_{1}$$ e $$\langle . \rangle_{2}$$ são dois produtos internos em V. Prove que a aplicação...
Produto Interno – Exercício 7
Seja V o espaço vetorial das matrizes $$n\times n$$ sobre os complexos, com produto interno $$\langle A,B\rangle = tr (AB^{*})$$. Determinar o complemento ortogonal do...
Produto Interno – Exercício 6
Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno. Dado $$v\in V$$, suponha que, para todo $$s\in S$$, em que $$S$$ é um subespaço de...
Produto Interno – Exercícios Resolvidos
Exercícios resolvidos de Álgebra Linear sobre Produtos Internos, Complemento Ortogonal, etc. ►Mostre que se $$w_{1},…,w_{k}$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x=α_{1} w_{1}+…+α_{k}...
Produto Interno – Exercício 4
Seja X um conjunto de geradores do espaço vetorial E, onde est ´a definido um produto interno. Se os vetores u, v ∈ E são...
Produto Interno – Exercício 3
Prove que um operador $$A: E \longrightarrow E$$, num espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se, existem...
Produto Interno – Exercício 5
Mostre que se $$w_{1},…,w_{k}$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x=α_{1} w_{1}+…+α_{k} w_{k}$$, então $$x= proj_{w_{1}} (x)+…+proj_{w_{k}} (x)$$. Lista de Exercícios Resolvidos sobre...
Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercício 3)
Dadas as funções lineares $$A, B: E\longrightarrow F$$, prove as afirmações a seguir. a) $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$. b) $$(A^{*})^{*} = A$$. Solução: a) $$<ABx,y>=<x,...
Produto Interno – Exercício 2
Questão Seja $$< , >$$ um produto interno no espaço vetorial real $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E\longrightarrow F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove...
Produto Interno – Exercício 1
Questão Seja $$\{u_{1},…,u_{n}\}\subset E$$ uma base ortonormal. Prove que, para $$v,w\in E$$ arbitrários, tem-se $$<v,w>=\sum^{n}_{i=1}<v,u_{i}>\cdot <w,u_{i}>$$. Lista de Exercícios Resolvidos sobre Produtos Internos. Solução: Escreve-se...
Introdução à Análise Funcional – Espaço de Hilbert (exercício 3)
Questão Mostre que, para uma sequência $$(x_{n})$$, em um espaço vetorial munido de produto interno, se $$||x_{n}||\longrightarrow ||x||$$ e $$<x_{n},x>\longrightarrow <x,x>$$, é válida a convergência...