c) taxa efetiva mensal da aplicação financeira.

Solução:

a) Dado que a taxa nominal é de 12% ao ano, a taxa proporcional mensal é 12%/12 = 1% ao mês. No regime de Juros Compostos, um capital de 10.000 renderá, em cinco meses, $$VF = 10000\cdot (1+0,01)^{5}= R\$ 10.510,10.

b) A taxa efetiva será a taxa acumulada de 1%, ao longo de 12 meses, em regime de Juros Compostos, então $$(1+i_{e}) = (1+0,01)^{12} \cong 1,1268$$, logo i_e = 12,68% ao ano.

c) Conforme calculamos no item (a), a taxa efetiva mensal é de 1%.

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Qual é a taxa proporcional a 1,5% a.m (ao mês) em anos? Solução.

Calcule as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de 3,6% ao trimestre. Solução.

Calcule as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0,9% ao mês. Solução.

Calcule o montante acumulado no final de dois anos ao se aplicar um principal de $1.000,00 à taxa de 10,20% ao ano, capitalizados mensalmente. Solução.

Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa efetiva de 1,20% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule os valores de resgate e as taxas mensais, a juros simples, de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes hipóteses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias. Solução.

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• Acesse + Exercícios sobre Taxas de Juros

Solução:

Basta notarmos que $$1\;\text{mês}=1/12\; \text{ano}$$, logo, pela fórmula da taxa proporcional, temos

\[i_{anual}=\frac{i_{mensal}}{1/12}\Longrightarrow\]

$$i_{anual}=\frac{1,5%}{1/12}=$$ 18,00% a.a.

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Solução:

a) Sabendo que a taxa efetiva mensal, a juros compostos, é de 1,2% (=0,012), a taxa em dez dias (i) correspondente, sob o regime de juros compostos, é dada pela aplicação da fórmula de taxas relacionadas:

$$(1+i)^{30/10}=1+0,012 \Longrightarrow i = $$  0,3984%.

• Acesse + Exercícios sobre Taxas de Juros

Para obter a taxa proporcional a um mês, basta fazermos

$$i_{mensal}=i\cdot 3 =$$ 1,1952%.

O montante acumulado, sob regime de Juros Simples, é de

\[M=C(1+it) = 10000\cdot (1+0,01952\cdot(10/30))=R\$ 10039,84.\]

b) No caso dos sessenta dias, teremos

$$(1+i)^{60/30}=1+0,012 \Longrightarrow  i =  $$ 2,4144%.

A taxa proporcional mensal é dada por

$$i_{mensal}=0,024144/2 $$ = 1,2072%.

O montante simples acumulado é de

\[M=C(1+it) = 10000\cdot (1+0,012072 \cdot(60/30)=R\$ 10241,44.\]

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Solução:

A taxa anual é apenas nominal e proporcional, portanto devemos convertê-la em taxa mensal, que é a periodicidade da capitalização. Tem-se, então,

$$i_{mensal}=\frac{0,102}{12}=0,0085=$$ 0,085%.

Como 2 anos equivalem a 24 meses, o montante a Juros Compostos acumulado é dado por

\[M=1000\cdot (1+0,0085)^{24}=R\$ 1225,24.\]

Referência

Puccini, Abelardo de Lima, 1942- Matemática financeira: objetiva e aplicada

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Solução:

Como um trimestre equivale a 3 meses, a taxa trimestral será

\[i_{trimestral}=i_{mensal}\cdot 3=0,009\cdot 3 = 0,027\; a.t.\]

• Acesse + Questões sobre Taxas de Juros

Um ano equivale a 4 trimestres, então

\[i_{anual}=i_{trimestral}\cdot 4= 0,027\cdot 4 = 0,108\; a.a.\]

Em percentuais: 2,7% ao trimestre; 10,8% ao ano.

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Quando falamos das tais taxas proporcionais, referimo-nos àquelas taxas relacionadas por meio da capitalização simples, ou Juros Simples. Mais precisamente: duas taxas são proporcionais se estão relacionadas por meio da fórmula dos Juros Simples e possuem marcadores temporais diferentes.

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Lembre-se de que toda taxa financeira apresenta um marcador temporal. Quando escrevemos, por exemplo, 1% a.a, a taxa é apresentada na forma anual; quando escrevemos, por outro lado, 10% a.m, a taxa possui marcador mensal. Ademais, dado que podemos relacionar unidades de medida de tempo distintas, como dias, meses e anos, é natural pensarmos em uma forma de relacionar taxas de juros que representam as respectivas unidades de tempo.

Exemplo
Um fundo de investimento remunera à taxa semestral de 3,5%, sob regime de Juros Simples. Qual é a taxa mensal relacionada à taxa descrita no enunciado?

Solução:
Em primeiro lugar, notamos que o capital gerado em um semestre (C_sem) é dado por $$C_{sem}=C\cdot 0,035\cdot 1$$ e que o capital produzido ao longo de 6 meses (C_men) é obtido pela fórmula $$C_{men} = C\cdot i_{mensal}\cdot 6$$. Uma vez que o período de tempo é exatamente o mesmo – lembre-se de que 1 semestre = 6 meses –, teremos uma igualdade: C_sem = C_men.

Daqui, basta igualarmos as duas fórmulas:
\[C\cdot 0,035\cdot 1 = C_{sem}=C_{men} = C\cdot i_{mensal}\cdot 6\Longrightarrow\]

\[0,035 = i_{mensal}\cdot 6\Longrightarrow\]

\[i_{mensal}=\frac{0,035}{6}=0,005833.\]

Pronto! Calculamos a taxa proporcional mensal àquela taxa semestral de 3,5%. Essa taxa é igual a 0,5833%.

Método Prático para Calcular Taxas Proporcionais

Conforme acabamos de ver no exemplo, basta que saibamos a relação entre as duas unidades temporais das quais queremos encontrar a proporcionalidade de suas respectivas taxas. Digamos, de modo geral, que a taxa $$i_{b}$$ está em uma unidade de medida que é $$k$$ vezes a unidade da taxa $$i_{a}$$, com $$k>0$$ uma constante de proporcionalidade. Assim, a fórmula que fornece o cálculo da proporção entre as taxas é

\[i_{a}=\frac{i_{b}}{k}.\]

Exemplo
Qual é a taxa proporcional mensal equivalente a uma taxa diária de 0,05% a.d ?

Solução
Adota-se a convenção de 30 dias por mês, então a conversão de unidades é $$1\; \text{dia} = 1/30\;\text{mês}$$.

\[i_{\text{diária}}=\frac{0,0005}{1/30} = 0,015 \text{a.m}.\]

Agora, pratique mais: acesse nossa lista de exercícios!

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• Acesse + Questões sobre Taxas Financeiras

Solução:

Um trimestre equivale a três meses. Usando a fórmula da taxa proporcional, seu valor é

\[\frac{0,036}{3}=0,012 \; \text{ao mês}\].

Com o padrão de 30 dias por mês, a taxa diária será de

\[\frac{0,012}{30} = 0,0004 \; \text{ao dia}\].

Em percentual: 0,04% ao dia.

• Acesse: Exercícios resolvidos sobre taxas proporcionais

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