Exercícios Resolvidos – Princípio Fundamental da Contagem

Exercícios e exemplos resolvidos sobre o Princípio Aditivo, Princípio Multiplicativo (Princípio Fundamental da Contagem). Gabarito e comentarios.

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♦(UFRGS) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: 
a) 1.440   b) 2.880  c) 3.125   d) 3.888   e) 4.320
Solução

♦(IBMEC) Usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, podemos formar y números naturais diferentes e menores que 1.000, sendo que x deles são de 3 algarismos distintos. A razão x/y é:
a) 3/8    b) 2/7   c) 1/6   d) 5/8  e) 3/7
Gabarito: b)
Solução (Clique Aqui).

♦(ENEM 2020/digital) Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão de toques como senha. Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões numeradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo. Qual expressão representa o número total de códigos existentes? 

a) $$4^{5}−4^{4}−4^{3}$$
b) $$4^{5}+4^{4}+4^3$$
c) $$4^{5}\cdot 4^{4}\cdot 4^{3}$$
d) $$(4!)^{5}$$
e) $$4^{5}$$.
Gabarito: e)
Solução (Clique aqui)

♦ Para gerar a sua senha de acesso, o usuário de uma biblioteca deve selecionar cinco algarismos de 0 a 9, permitindo-se repetições e importando a ordem em que eles foram escolhidos. Por questões de segurança, senhas que não tenham nenhum algarismo repetido são consideradas inválidas. Por exemplo, as senhas 09391 e 90391 são válidas e diferentes, enquanto a senha 90381 é inválida. O número total de senhas válidas que podem ser geradas é igual a
A) 69 760    B) 30 240   C) 50 000   D) 19 760
Solução

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♦ Uma sala tem 10 portas. Calcule o número de maneiras diferentes com que essa sala pode ser aberta. 
a) 10!/5!   b) 500  c) 10  d) 10!  e) $$2^{10} – 1$$.
Solução

♦(IBMEC) Palíndromo é uma seqüência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda
para direita resulta no mesmo  número. Por exemplo, 2.002 é palíndromo. Quantos palíndromos existem com cinco algarismos, dado que o primeiro algarismo é um número primo?
a) 100   b) 200   c) 300   d) 400   e) 500
Solução

♦(UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x.
Solução

♦ Com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} são formados números de três algarismos distintos. A quantidade de números formados cuja soma dos algarismos é um número par é
A) 30   B) 36   C) 52   D) 60   E) 72
Solução

♦Com os algarismos 1, 2, 3, 4, quantos números com algarismos distintos e menores que 200 podemos formar?   a) 36    b) 24    c) 22    d) 13    e) 10
Solução

♦ Supondo que as placas de veículos contêm 3 letras (dentre as 26 disponíveis), seguidas de 4 dígitos numéricos, quantas são as placas nas quais
a) o zero não aparece na primeira posição?
b) não há repetição de letras e de números?
c) não há restrições quanto ao número de repetições?
Solução

♦Para diminuir o emplacamento de carros roubados, um determinado país resolveu fazer um cadastro nacional, no qual as placas são formadas com 3 letras e 4 algarismos, sendo que a 1ª letra da placa determina um estado desse país. Considerando o alfabeto com 26 letras, o número máximo de carros que cada estado poderá emplacar será de
A) 175 760     B) 409 500      C) 6 500 000    D) 6 760 000     E) 175 760 000
Solução

♦(UERJ – 2021) Em uma reunião, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre todos os presentes e composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário. O número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião. O número de trabalhadores presentes é:

(A) 13
(B) 11
(C) 9
(D) 7

Solução:

♦ Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais?
a) $$5^{9}$$.
b) $$9\cdot 8^{4}$$.
c) $$8\cdot 9^{4}$$.
d) $$8^{5}$$.
e) $$9^{5}$$.
Solução

♦(ENEM 2017/ppl) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado)
Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual

a) $$26^{3} +9^{4}$$
b) $$26^{3}\cdot 9^{4}$$
c) $$26^{3} (10^{4}−1)$$
d) $$26^{3}+10^{4}−1$$
e) $$(26^{3}\cdot 10^{4})−1$$
Solução