Transformações Lineares – Exercícios Resolvidos

Lista de exercícios resolvidos sobre Aplicações Lineares: definição, exercícios práticos, exercícios teóricos, produto (composição) de transformações lineares, operadores lineares, Teorema do Núcleo e da Imagem, Espaço de Transformações Lineares.

►Mostre que as aplicações a seguir são lineares.

• F: R³ → R² ,definida por $$F(x,y,z) = (x+2y-3z , 4x-5y+6z)$$. Solução.
• F: R² → R² ,definida por $$F(x,y) = (ax+by cx+dy)$$, com $$a,b,c$$ e $$d$$ sendo constantes reais. Solução.

►Determine a transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que $$T(1,0,0)=(0,0,1)$$, $$T(1,0,1)=(1,1,1)$$ e T(0,-1,1)=(1,1,0)$$. Solução.

►Determine a transformação linear $$T:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})$$ tal que T(1,1) = x²-1 e T(1,-1) = x³ + 1. Solução.

►Seja 𝑇:𝒳→𝒴 um operador linear cuja inversa existe(inversível). Se o conjunto $$\{𝑥_{1},…,𝑥_{𝑛} \}$$ é um conjunto linearmente independente em 𝒳, mostre que o conjunto $$\{𝑇𝑥_{1},…,𝑇𝑥_{𝑛}\}$$ é linearmente independente. Solução.

►Considere a transformação linear $$T :R^{3}⟶ R^{2}$$  dada por $$T(x, y, z) = ( x – y – z , 2z – x )$$. Determine uma base para $$Ker(T)$$ e uma base para $$Im(T)$$. Solução.

►Seja F: R⁴ → R³ a transformação linear definida por 𝑭(𝒙,𝒚,𝒛,𝒕)=(𝒙−𝒚+𝒛+𝒕, 𝒙+𝟐𝒛−𝒕, 𝒙+𝒚+𝟑𝒛−𝟑𝒕). Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de F, (b) do núcleo de F. Solução.

►Determine uma transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que
\[ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} | x+y+z=0\}.\]
Solução

►Se os vetores $$v_{1},…,v_{m}\in E$$ geram um subespaço vetorial de dimensão $$r$$, prove que o conjunto dos vetores $$(\alpha_{1},…,\alpha_{m})\in\mathbb{R}^{m}$$ tais que $$\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{m}v_{m}=0$$ é um subespaço vetorial de $$\mathbb{R}^{m}$$ com dimensão $$m-r$$. Solução.

►Sejam 𝑉 um espaço vetorial de dimensão finita, com dim⁡(𝑉 ) = 𝑛, e 𝑇 : 𝑉 → 𝑉 uma transformação linear tal que dim(𝐼𝑚(𝑇)) =dim⁡(𝐾𝑒𝑟(𝑇)). Mostre que n é par. Considerando $$𝑉 = ℝ^{4}$$, dê exemplo de uma transformação linear com essas propriedades. Solução.

►Considere U , V e W espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam T : U → V e P : V → W transformações Lineares. Mostre que, (a) se T e P são injetoras, então dim(U) ≤ dim(V ) ≤ dim(W); e (b) se T e P são sobrejetoras, então dim(U) ≥ dim(V ) ≥ dim(W). Solução.

►Seja $$T$$ um operador linear sobre o espaço de dimensão finita $$V$$. Se $$posto(T^{2})=posto(T)$$, então a imagem e o núcleo de $$T$$ são disjuntos. Solução.

►Sejam $$A,P: E\longrightarrow E$$ operadores lineares não-nulos tais que $$AP=0$$. Prove que existem vetores não-nulos $$u\neq v$$ com $$Au=Av$$. Solução.

►Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Prove que, se $$A,B\in\mathcal{L}(V;W)$$ cumprem $$XA=XB$$, então $$A=B$$. Solução.

►Sejam $$A,P: E\longrightarrow E$$ operadores lineares não-nulos tais que $$AP=0$$. Prove que existem vetores não-nulos $$u\neq v$$ com $$Au=Av$$. Solução.

►Sejam $$A: U\longrightarrow W$$ e $$B: V\longrightarrow U$$ duas transformações lineares sobre espaços vetoriais de dimensão finita. Prove as afirmações a seguir.

• a) $$dim(\mathcal{N}(AB))=dim(\mathcal{N}(B)) + dim(\mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A))$$.
• b) $$dim(\mathcal{Im}(AB))=dim(\mathcal{Im}(B))-dim(\mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A))$$.

Solução.

►Seja $$\varphi$$ um operador linear, sobre o espaço vetorial $$V$$, tal que $$\varphi^{2}=I_{d}$$ (identidade). Mostre que $$V=U\oplus W$$,com $$U=\{v\in V;\varphi(v)=v\}$$, e $$W=\{v\in  V;\varphi(v)=-v\}$$. Solução.

►Sejam $$V$$ e $$W$$ espaços vetoriais sobre o corpo $$F$$, e seja $$U$$ um isomorfismo de $$V$$ em $$W$$. Demonstrar que $$\phi: T\mapsto UTU^{-1}$$ é um isomorfismo de $$\mathcal{L}(V)$$ em $$\mathcal{L}(W)$$. Solução.

►Seja $$C(A)$$ o conjunto dos operadores lineares $$X: E\longrightarrow E$$ que comutam com o operador $$A\in\mathcal{L}(E)$$, isto é, $$XA=AX$$. Prove que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial de $$\mathcal{L}(E)$$ e que, para $$X,Y\in C(A)$$, tem-se $$XY\in C(A)$$. Solução.

►Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$, defina o novo operador $$T_{A}:\mathcal{L}(E)\longrightarrow\mathcal{L}(E)$$, pondo $$T_{A}=AX$$, para todo $$X\in\mathcal{L}(E)$$. Prove que $$T_{A}$$ é invertível se, e somente se, $$A$$ é invertível. Solução.