Transformações Lineares – Exercício 12
Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes:...
Álgebra Linear
Base da Imagem e do Núcleo – Exercício 1
Seja $$𝑭:𝑹^{𝟒}→𝑹^{𝟑}$$ a transformação linear definida por 𝑭(𝒙,𝒚,𝒛,𝒕)=(𝒙−𝒚+𝒛+𝒕, 𝒙+𝟐𝒛−𝒕, 𝒙+𝒚+𝟑𝒛−𝟑𝒕) Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de F, (b) do núcleo de...
Núcleo e Imagem – Exercício 3
Seja $$T$$ um operador linear sobre o espaço de dimensão finita $$V$$. Se $$posto(T^{2})=posto(T)$$, então a imagem e o núcleo de $$T$$ são disjuntos. Demonstração:...
Núcleo e Imagem – Exercício 2
Considere U , V e W espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam T : U → V e P : V → W transformações Lineares....
Núcleo e Imagem – Exercício 1
Sejam 𝑉 um espaço vetorial de dimensão finita, com dim(𝑉 ) = 𝑛, e 𝑇 : 𝑉 → 𝑉 uma transformação linear tal que dim(𝐼𝑚(𝑇))...
Operador Adjunto – Exercício 1
Se v e w são respectivamente autovetores de A e A*, correspondentes a autovalores λ e μ, com λ≠μ , prove que ‹v,w› = 0....
Autovalores – Exercício 6
Seja o conjunto de vetores $$\{v_{1},…,v_{k}\}$$ associados aos autovalores $$\{\lambda_{1},…,\lambda_{k}\}$$ distintos de uma matriz $$A_{n\times n}$$. Prove que os vetores são linearmente independentes. Demonstração: Provaremos,...
Teorema – Cardinalidade do Conjunto L.I
Seja um espaço vetorial $$V$$ gerado pelo conjunto linearmente independente $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Se houver um conjunto linearmente independente de $$\mathcal{B}=\{u_{1},..,u_{n}\}$$, então esse conjunto também é uma...
Teorema do Completamento da Base
Seja $$S$$ um espaço vetorial de base $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Dado um conjunto de vetores linearmente independente $$\{u_{1},…,u_{k}\}$$, com $$k+r=n$$, existem vetores $$w_{1},…,w_{r}$$ tais que o conjunto...
Lema sobre sistemas lineares
Todo sistema linear homogêneo com $$m$$ equações e $$m+k$$ incógnitas admite uma solução não trivial. Em outras palavras, existe $$x_{m+k}$$ não nulo que satisfaz $$A_{m\times...
Matrizes em bloco – Exercício 1
Dadas as matrizes quadradas $$A$$ e $$B$$, e dada a matriz $$M=\left[\begin{array}{cc} A_{r\times r} & H_{r\times s}\\ F_{s\times r}&B_{s\times s} \end{array}\right]$$, uma matriz quadrada com...
Transposição do Produto Matricial – Demonstração
Sejam as matrizes $$A_{m\times n}$$ e $$B_{n\times s}$$, então $$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$. Demonstração: i) Em primeiro lugar, observa-se o que ocorre com a multiplicação $$Av$$, em que...