Arquivos Análise Combinatória - Educacional Plenus

Arthur, Breno, Camila, Diana e Estevão se preparam para participar

Plenus — Thu, 20 Feb 2025 18:59:38 +0000

Arthur, Breno, Camila, Diana e Estevão se preparam para participar de uma competição de dança. No palco, há 5 posições a serem ocupadas no início da coreografia, sendo que cada uma delas é destinada a uma única pessoa. Considere que Camila poderá iniciar apenas nas posições 1 ou 2 e Breno apenas nas posições 1 ou 3 ou 4. Os demais participantes, Arthur, Diana e Estevão, poderão ocupar qualquer uma das posições restantes. De quantas maneiras o grupo poderá ocupar a posição inicial dessa coreografia?
(A) 11. | (B) 120.
(C) 30. | (D) 5.
(E) 36.

Gabarito: c)
Solução (no vídeo abaixo):

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Princípio da Contagem – Exercícios

Plenus — Tue, 11 Feb 2025 07:24:02 +0000

Questões Resolvidas sobre Princípio Fundamental da Contagem.

Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais?
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Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x.
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Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é:
a) 1.440 b) 2.880 c) 3.125 d) 3.888 e) 4.320
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Com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} são formados números de três algarismos distintos. A quantidade de números formados cuja soma dos algarismos é um número par é
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Usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, podemos formar y números naturais diferentes e menores que 1.000, sendo que x deles são de 3 algarismos distintos. A razão x/y é
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As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?
b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?
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Uma sala tem 10 portas. Calcule o número de maneiras diferentes com que essa sala pode ser aberta.
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Com os algarismos 1, 2, 3, 4, quantos números com algarismos distintos e menores que 200 podemos formar?
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Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos
1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3 . De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
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Palíndromo é uma seqüência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda
para direita resulta no mesmo número. Por exemplo, 2.002 é palíndromo. Quantos palíndromos existem com cinco algarismos, dado que o primeiro algarismo é um número primo?
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Para gerar a sua senha de acesso, o usuário de uma biblioteca deve selecionar cinco algarismos de 0 a 9, permitindo-se repetições e importando a ordem em que eles foram escolhidos. Por questões de segurança, senhas que não tenham nenhum algarismo repetido são consideradas inválidas. Por exemplo, as senhas 09391 e 90391 são válidas e diferentes, enquanto a senha 90381 é inválida. O número total de senhas válidas que podem ser geradas é igual a…
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Usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4

Plenus — Tue, 11 Feb 2025 07:18:30 +0000

Usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, podemos formar y números naturais diferentes e menores que 1.000, sendo que x deles são de 3 algarismos distintos. A razão x/y é:

Gabarito: 2/7

Solução (no vídeo abaixo):

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Combinações Simples – Exercícios

Plenus — Tue, 28 Jan 2025 03:56:51 +0000

Exercícios resolvidos de combinações simples. Questões resolvidas e comentadas; passo a passo da solução.

De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de cinco soldados podem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado como líder?
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Num grupo de 10 pessoas, temos somente 2 homens. O número de comissões de 5 pessoas que podemos formar com 1 homem e 4 mulheres é:
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Em uma sala, há um grupo de quinze professores e quatro deles serão selecionados para compor uma banca. A quantidade de bancas com quatro membros que podem ser formadas, de modo que determinado professor do grupo esteja sempre presente na sua composição é igual a:
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Na eleição do conselho fiscal de um clube, sabe-se que, com os associados que se candidataram, o
número de modos de constituir o conselho com 4 ou 6 membros é o mesmo. Então, o número de associados candidatos é:
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Um grupo de alunos de Cálculo I da EsPCEx é constituído por 8 homens e 4 mulheres. Três desses alunos são selecionados ao acaso, sem reposição, para apresentarem um trabalho sobre aplicação da Integral. A probabilidade de que nessa escolha ao menos dois sejam homens é igual a
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Nove pessoas param para pernoitar num hotel. Existem 3 quartos com 3 lugares cada. O número de
formas que estas pessoas podem se distribuir entre os quartos é:
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O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão?
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Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formada é:
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Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão
a) 6!/(4!2!).15!/(10!5!) | b) 6!/(4!2!) + 15!/(10!5!) | c) 6!/2! + 15!/5! | c) 6!/2!.15!/5! | e) 21!/(7!14!)
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Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?
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PRÓXIMAS QUESTÕES

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Ana, Bia, Carlos e Débora foram assistir a um filme no cinema

Plenus — Thu, 28 Nov 2024 18:44:51 +0000

Ana, Bia, Carlos e Débora foram assistir a um filme no cinema e escolheram os assentos da primeira fileira. Sabendo que há 5 poltronas nessa fileira, o número de formas distintas em que eles poderiam se distribuir para assistir ao filme é
A) 24
B) 60
C) 120
D) 256

Gabarito: c
Solução (no vídeo abaixo):

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Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir

Plenus — Fri, 08 Nov 2024 09:44:00 +0000

Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor.

O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a

A) 20.
B) 41.
C) 120.
D) 35.

Gabarito: b)
Solução (no vídeo abaixo):

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Uma empresa alimentícia deseja montar kits de lanches

Plenus — Fri, 25 Oct 2024 21:11:53 +0000

Uma empresa alimentícia deseja montar kits de lanches para escolas. Cada kit irá conter um refresco e um sanduíche natural contendo apenas um tipo de recheio. Para se ter uma variedade maior nos tipos de kits, foram fornecidos 6 sabores diferentes de sucos e 5 tipos de recheios diferentes para os sanduíches.
Considerada a variação dos kits em função do sabor do suco e do recheio do sanduíche, o número de maneiras distintas para montagem dos kits é representado por

Solução:

Pelo princípio multiplicativo, basta fazermos $$6\cdot 5 = 30$$, ou seja, para cada um dos 6 sabores de lanche, há 5 sabores de sucos possíveis. No entanto, devemos expressar o resultado no formato combinatório.
$$C_{6,1}=\frac{6!}{1!5!}=6$$.
$$C_{5,1}=\frac{5!}{1!4!}=5$$.
Portanto $$C_{5,1}\cdot C_{6,1} = 30$$.
Resposta: b)

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A senha de desbloqueio de um aparelho celular é composta

Plenus — Sat, 05 Oct 2024 09:42:13 +0000

A senha de desbloqueio de um aparelho celular é composta de 4 dígitos e apresenta as seguintes características:

• O primeiro e o último dígitos são iguais;
• Os dígitos da 2ª e da 3ª posição formam um número primo;
• Apenas são utilizados algarismos ímpares.

CORREÇÃO CEFET-MG 2024

Considerando as características listadas, quantas são as possibilidades de senha para esse aparelho celular?

A) 5
B) 12
C) 36
D) 60

Gabarito: d)
Solução (no vídeo a seguir):

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As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete

Plenus — Fri, 09 Aug 2024 15:21:44 +0000

As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.

a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?

b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?

Solução:

a) O nosso conjunto é de 26 letras, 9 algarismos para a primeira posição dos números e 10 algarismos para as outras posições dos números. Usando o princípio multiplicativo, o total de placas será de $$26\cdot 26\cdot 26 \cdot 9 \cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 26^{3}\cdot 9 \cdot 10^{3}$$.

b) Podemos escolher, para a primeira letra, 26 caracteres, mas a segunda letra será uma repetição da primeira, de modo a ter apenas uma opção. O restante das escolhas permanece inalterado. Assim, teremos um total de $$26\cdot 1 \cdot 26 \cdot 9 \cdot 10^{3}$$.

O percentual será de $$\frac{26^{2}\cdot 9\cdot 10^{3}}{26^{3}\cdot 9\cdot 10^{3}}=\frac{1}{26}\cong$$ 3,846%.

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Uma grande firma oferecerá aos seus funcionários 10 minicursos

Plenus — Fri, 09 Aug 2024 01:41:02 +0000

Uma grande firma oferecerá aos seus funcionários 10 minicursos diferentes, dos quais só 4 serão de informática. Para obter um certificado de participação, o funcionário deverá cursar 4 minicursos diferentes, sendo que exatamente 2 deles deverão ser de informática. Determine de quantas maneiras distintas um funcionário terá a liberdade de escolher:
a) os minicursos que não são de informática;
b) os 4 minicursos, de modo a obter um certificado.

Solução:

a) Há 10-4 = 6 minicursos que não versam sobre informática. Como sobram apenas duas “vagas” para esses cursos e dado que as ordens não importam, o total de possibilidades que um funcionário pode escolher é $$C_{6,2}=\frac{6!}{2!4!}=15$$.

b) Pensando apenas nos cursos de informática, teremos $$C_{4,2}=\frac{4!}{2!2!}=6$$. A fim de obter o certificado, o total de maneiras possíveis será de $$15\cdot 6 = 90$$.

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