Resposta: 26 meses.
Solução (no short abaixo):

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Por exemplo, considere a potência 2³=8. Aqui, 2 é a base, 3 é o expoente e 8 é o resultado. O logaritmo dessa expressão na base 2 seria escrito como log_⁡2 8=3, o que significa que o expoente que torna 2 igual a 8 é 3. Neste exemplo, o número $$8$$ é chamado de logaritmando. Note que ele é o resultado da potenciação.

De maneira geral, o logaritmo de um número $$x$$ em uma base $$b$$ é o expoente $$y$$ tal que $$b^{y}=x$$. Essa relação é expressa na definição de um logaritmo, muito usada em cálculos:

log_⁡b x= y se, e somente se b^y=x

Alguns exemplos simples ajudam a ilustrar essa ideia:

• log⁡₂16=4, porque 2⁴=16;
• log⁡₃81=4, porque 3⁴=81;
• log⁡₁₀1000=3, porque 10³=1000.

Condição de Existência

Para que um logaritmo exista, precisamos impor algumas condições sobre a base $$b$$ e sobre o logaritmando $$x$$. Como exemplo, note que não existe uma resposta para $$log_{2}(-5)$$, uma vez que teríamos de ter $$2^{y}=-5$$, e isso seria impossível, já que o produto de números positivos nunca será negativo.

Podemos ainda citar um outro exemplo: $$log_{1}3=y$$, então teríamos $$1^{y}=3$$, algo que é evidentemente impossível, pois potências de 1 só podem resultar nele próprio.

Assim, observamos que as condições de existência para um logaritmo $$\mathbf{log_{b}x}$$ são estas:

• $$b\neq 1$$ e $$b>0$$;
• $$x>0$$.

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Quando o som é considerado baixo, ou seja, N = 48 dB ou menos, deve ser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som ser moderado, quando N está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve ser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, que equivale a N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a ser usada é a III. Se N estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve ser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com N maior que 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V.
Uma nova máquina, com I = 8 × 10⁻⁸ W/m² , foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz. Considere 0,3 como aproximação para log₁₀ 2. O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.

Solução:
Calculando os decibéis pela fórmula, teremos

\[N=log_{10}(8\cdot 10^{-8})^{10} – log_{10}(10^{-12})^{10}.\]

Usando a regra do tombo, obtemos $$A=10\cdot log_{10} (2^{3}\cdot 10^{-8})$$. Usando a regra do produto, obtemos  $$A=10\cdot [log_{10}2^{3} + log_{10}10^{-8}]$$. Novamente, pela regra do tombo, obtemos $$A=10\cdot [3\cdot log_{10}2 – 8\cdot log_{10}10] = 10\cdot [3\cdot 0,3 – 8] = -74$$.

Adotando-se o mesmo procedimento, calculamos, pela regra do tombo, $$B= 10\cdot log_{10} 10^{-12} = -120$$. 

Finalmente, pela fórmula fornecida, obtemos $$N=-71-(-120) = 49$$ dB.

Resposta: b)

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Solução:
A condição de existência dos logaritmos diz que o logaritmando deve ser maior que zero [x² – 8x + 15>0], que a base deve ser superior a zero [3-x>0] e que a base deve ser diferente de 1.

1) Resolvendo a inequação do segundo grau x² – 8x + 15>0, obtemos $$x=3$$ ou $$x=5$$, por Bháskara. Estudando os sinais da inequação do segundo grau, descobrimos que os valores para os quais existe a função logarítmica são $$x<3$$ ou $$x>5$$.

2) Vamos estudar os sinais da inequação do primeiro grau para a base do logaritmo. A fim de que $$3-x>0$$, teremos $$x<3$$. Além disso, $$3-x\neq 1$$, logo $$x\neq 2$$.

Conclusão: o logaritmo existirá para $$x<3$$ ou $$x>5$$, e $$x\neq 2$$.

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Solução:
Aplicando a regra do tombo, obtemos y = 2^log₂m5. Além disso, aplicando a definição de logaritmo, obtemos

\[log_{2}y = log_{2}2^{log_{2}m^{5}}=log_{2}m^{5}.\]

Isso implica que $$y = m^{5}$$.

O post Logaritmos – Exercício 14 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Elevando a segunda equação ao expoente $$x$$, obtemos $$(9^{y})^{x}=7^{x}=81$$, logo $$9^{xy}=81$$. Como 81 = 9², temos $$xy=2$$.

Substituindo no logaritmo, obtemos $$log_{8}(xy) = log_{8}(2)$$. Aplicando a definição de logaritmo, temos $$8^{z}=2$$, logo $$z=1/3$$.

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Exemplo
Se $$log 2\cong 0,3$$ e $$log 3 \cong 0,477$$, qual é o valor de $$log 6$$ ?
Usando a propriedade, obtemos $$log 6 = log (2\cdot 3) = log 2 + log 3 = 0,777$$.

Demonstração da Propriedade
Sejam $$x=log_{c}a, y=log_{c}b$$ e $$z=log_{c}(a\cdot b)$$. Aplicando a definição de logaritmo nas três igualdades anteriores, obtemos, respectivamente, $$a = c^{x}, b=c^{y}$$ e $$a\cdot b = c^{z}$$.

Agora, substitua as duas primeiras identidades na terceira equação e use a propriedade das potências para soma de expoentes em bases iguais. Então obtemos a igualdade

\[c^{x+ y}c^{x}\cdot c^{y}=c^{z}.\]

Essa igualdade é válida se, e somente se, $$x+y=z$$. Por definição de x,y e z, obtemos $$log_{c}a+log_{c}b=log_{c}(a\cdot b)$$.

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Exemplo
Se $$log 2 \cong 0,3$$, qual é o valor de $$log 32$$ ?
Basta observar que $$2^{5}=32$$, então $$log 32 = log 2^{5} = 5\cdot log 2 = 1,5$$.

Demonstração da Propriedade
Seja $$k = log_{b}a$$. Aplicando a definição dos logaritmos, teremos $$a=b^{k}$$. Se elevarmos os dois lados da igualdade a $$x$$, obtemos $$a^{x}=(b^{k})^{x} = b^{kx}$$.

Agora, aplicamos a definição do logaritmo na igualdade anterior e obtemos

\[log_{b} a^{x} = log_{b}b^{kx} (*).\]

Note que, se $$log_{b}b^{kx}=z$$, então $$b^{z}=b^{kx} \Longleftrightarrow z = kx$$. Logo a expressão $$(*)$$ se torna $$log_{b}a^{x}=log_{b}b^{kx}=kx = x\cdot log_{b}a$$.

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