Matrizes – Exercício 6
Dizemos que uma matriz invertível $$A$$ é ortogonal, se $$A^{-1}=A^{T}$$. a) Verifique que a matriz $$M=\left[\begin{array}{cc} cos(\theta) & -sen(\theta)\\ sen(\theta) & cos(\theta) \end{array}\right]$$ é ortogonal,...
Álgebra Linear
Produto Interno – Exercício 4
Seja X um conjunto de geradores do espaço vetorial E, onde est ´a definido um produto interno. Se os vetores u, v ∈ E são...
Produto Interno – Exercício 3
Prove que um operador $$A: E \longrightarrow E$$, num espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se, existem...
Axiomas de Espaço Vetorial – Exercício 2
Em um espaço vetorial, $$\alpha v = \beta v$$ implica que α=β? E se $$v\neq 0_{V}$$ (zero vetorial)? Solução: Façamos as contas passo a passo....
Transformações Lineares – Exercício 17
Mostre que a aplicação a seguir é linear: $$F:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$, definida por $$F(x,y) = (ax+by cx+dy)$$, com $$a,b,c$$ e $$d$$ sendo constantes reais. Solução: Sempre...
Transformações Lineares – Exercício 16
Mostre que a aplicação a seguir é linear: $$F:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$, definida por $$F(x,y,z) = (x+2y-3z , 4x-5y+6z)$$. Solução: Sempre verificamos se $$F(v+v’) = F(v) +...
Transformações Lineares – Exercício 15
Seja $$v$$ um vetor não-nulo de um espaço vetorial $$E$$, de dimensão finita. Dado qualquer espaço vetorial $$F\neq\{0\}$$, mostre que existe uma transformação linear $$A:E\longrightarrow...
Transformações Lineares – Exercício 14
Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Prove que, se $$A,B\in\mathcal{L}(V;W)$$ cumprem $$XA=XB$$, então $$A=B$$....
Funcionais Lineares – Exercício 1
Seja $$\mathcal{V}=\{v_{1},…,v_{n}\}$$ é uma base do espaço vetorial $$E$$.Para cada $$i=1,2,…,n$$, seja $$\Phi_{i}: E\longrightarrow\mathbb{R}$$ o funcional linear determinado pelas condições: $$\Phi_{i}(v_{i})= 1$$, $$\Phi_{i}(v_{j})= 0$$, se...
Transformações Lineares – Exercício 13
No espaço vetorial $$\mathcal{P}$$ dos polinômios, considere os operadores lineares $$D,A:\mathcal{P}\longrightarrow\mathcal {P}$$ de derivação ($$D(p(x))=p'(x)$$) e multiplicação por $$x$$ ($$A(p(x)))=x\cdot p(x)$$), respectivamente. Determine $$DA-AD$$. Solução:...
Transformações Lineares – Exercício 12
Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes:...
Base da Imagem e do Núcleo – Exercício 1
Seja $$𝑭:𝑹^{𝟒}→𝑹^{𝟑}$$ a transformação linear definida por 𝑭(𝒙,𝒚,𝒛,𝒕)=(𝒙−𝒚+𝒛+𝒕, 𝒙+𝟐𝒛−𝒕, 𝒙+𝒚+𝟑𝒛−𝟑𝒕) Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de F, (b) do núcleo de...